571 בגרות קיץ מועד א 2024 שאלה 2

הסדרה A היא סדרה הנדסית שאיבריה הם \(a_1,a_2,a_3,...\) ומנתה היא q, \(-1<q<0\).

נתון: \(a_1=1\).

הסדרה B מוגדרת לכל n טבעי באופן הזה: \(b_n=a_n*a_{n+2}\)

א. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות q .

ב. לפניכם שלוש טענות III–I . קבעו עבור כל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.

I. הסדרה A לא עולה ולא יורדת.

II. הסדרה B היא סדרה עולה.

III. האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה A יוצרים סדרה עולה.

נתון: הסדרה B היא סדרה אין־סופית שסכומה  הוא 1/8.

ג. מצאו את ערכו של q .

נתונה סדרה הנדסית נוספת C , המוגדרת לכל n טבעי באופן הזהה: \(c_n=\frac{a_n}{b_n}\)

נתון: \(c_3+c_4+...+c_m=44,307\) , כאשר m הוא מספר טבעי.

ד. מצאו את הערך של m.