571 בגרות קיץ מועד א 2024 שאלה 5

במשולש BD , ABC הוא תיכון לצלע AC . הנקודה E נמצאת על הצלע BC .

BD ו־ AE נחתכים בנקודה P (ראו סרטוט).

נתון: BP=3PD

נסמן: \(\alpha<\beta , \sphericalangle ABP=\beta,\sphericalangle BAP=\alpha,AB=k\)

א. הביעו באמצעות b , a ו־ k את אורכי הקטעים AP ו־ BP .

נתון כי AE ו־ BD מאונכים זה לזה, וכי שטח המשולש ABD הוא \(\frac{1}{4}k^2\)

ב. מצאו את גודל הזווית a .

ג. מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC

ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEB .

ד. מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC , כך שמתקיים \(\sphericalangle ABC=90\)

הביעו את תשובתכם באמצעות k .