כיתה ט' גיאומטריה - מקבילית, ותכנים נוספים שאפשר להוכיח באמצעות תכונותיה

לפי תכנית הלימוד של משרד החינוך (הועתק)

4. מקבילית, ותכנים נוספים שאפשר להוכיח באמצעות תכונותיה 

מיומנויות:

• הבנת הוכחות רב-שלביות שבהן מובלטת שרשרת ההיסקים
• הכרה בעובדה שיש יותר מדרך נכונה אחת להוכיח טענה
• אבחנה בין משפט למשפט הפוך

הגדרה:

המקבילית היא מרובע שבו יש שני זוגות של צלעות המקבילות זו לזו.

דגשים:

1. יש להמשיך ולהדגיש את כל המיומנויות שהוזכרו בנושאים הקודמים.
2. בכל ההנמקות הנוגעות לזוויות בין קטעים מקבילים יש לציין מהו זוג הקטעים המקבילים שבו מדובר.
3. יש להכיר את תכונות המקבילית הנובעות מהגדרתה. יש להבליט את שרשרת ההיסקים המובילה מהגדרת המקבילית לתכונה המבוקשת.
4. יש להכיר דרכים לזיהוי מקבילית מכלל המרובעים. יש להבליט את שרשרת ההיסקים המובילה מהנתונים, המגלמים קריטריון לזיהוי מקבילית, לתנאי ההגדרה שלה, במשפט מהצורה: "מרובע שבו.... הוא מקבילית".
5. יש לדעת להבדיל בין משפט ובין משפט הפוך באמצעות היפוך הנתון ומה שצריך להוכיח.
6. יש לדעת להבדיל בין ההוכחה של משפט וההוכחה של המשפט ההפוך לו באמצעות היפוך הכיוון של שרשרת ההיסקים (ובכלל זה הנתון ומה שצריך להוכיח).
7. יש להכיר שנכונות משפט אינה מחייבת את נכונות המשפט ההפוך לו.
8. עד כה התבססו ההוכחות על מהלך היסקי בן שלב אחד או שניים. כעת, אם ההוכחה היא מרובת שלבים יש לקיים דיון כיתתי על המהלך ההיסקי של ההוכחה, ולהבליט את שרשרת ההיסקים העומדת בבסיסה.
9. במידת האפשר, רצוי להציג לתלמידים יותר ממהלך היסקי אחד להוכחה.

פירוט התוכן:

1. יש לדעת כיצד בונים מקבילית על סמך שתי צלעות סמוכות והזווית החדה שביניהן, או על סמך שתי צלעות סמוכות ואלכסון המקבילית.
2. יש להכיר את תכונות המקבילית ולדעת כיצד הן נובעות מהגדרתה:
   א. האלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים.
   ב. צלעות נגדיות שוות זו לזו.
   ג. זוויות נגדיות שוות זו לזו.
   ד. סכום זוויות סמוכות הוא 180°.
   ה. חוצי זוויות סמוכות מאונכים זה לזה.
   ו. האלכסונים חוצים זה את זה.
3. יש להכיר את הסימטריה הסיבובית של המקבילית סביב נקודת מפגש האלכסונים.
4. יש להכיר תוצאות הנובעות מתכונות המקבילית:
   א. בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
   ב. טרפז שבו זוויות הבסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
   ג. טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.
5. יש להכיר תכונות מזהות של מקבילית ולדעת כיצד כל תכונה גוררת את תנאי ההגדרה.
   א. אם הסכום של כל שתי זוויות סמוכות במרובע הוא 180°, אזי המרובע הוא מקבילית.
   ב. אם במרובע כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו, אזי המרובע הוא מקבילית.
   ג. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.
   ד. מרובע שבו הצלעות הנגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
   ה. מרובע שבו שתי צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית.
6. יש להכיר את התכונות של קטע אמצעים במשולש ובטרפז וכיצד הן נובעות מתכונות המקבילית.
   א. קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
   ב. קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
   ג. קטע היוצא מאמצע צלע של משולש ומקביל לצלע אחרת חוצה את הצלע השלישית.
   ד. קטע היוצא מאמצע שוק של טרפז ומקביל לבסיסיו חוצה גם את השוק האחרת.