אומדנים ורווחי סמך

פרמטר vs סטטיסטי:
• μ (מיו) = ממוצע האוכלוסייה
(פרמטר - ערך קבוע לא ידוע)

• x̄ (אקס בר) = ממוצע המדגם
(סטטיסטי - ערך מחושב מהמדגם)

x̄ משמש לאמוד את μ

סימונים:
• N = גודל אוכלוסייה = 10,000
• n = גודל מדגם = 100

אומד לא מוטה:
E(אומד) = הפרמטר האמיתי

דוגמה:
E(x̄) = μ
→ x̄ אומד לא מוטה של μ

ממוצע: הוא בממוצע פוגע במטרה!

שגיאת תקן:
SE(x̄) = σ/√n

• σ = סטיית תקן אוכלוסייה
• n = גודל מדגם
• √n בכיוון למטה = שגיאה קטנה יותר

💡 ככל שn גדול יותר, SE קטן יותר

חישוב ממוצע מדגם:
x̄ = (10+20+30)/3
= 60/3
= 20

חישוב SE:
SE(x̄) = σ/√n
= 15/√25
= 15/5
= 3

התפלגות דגימה:
ההתפלגות של x̄ מכל המדגמים האפשריים בגודל n

דוגמה:
אם נדגום 1000 פעמים מדגמים של n=25
ונחשב x̄ לכל מדגם
נקבל 1000 ערכי x̄
ההתפלגות שלהם = התפלגות דגימה

השפעת n על SE:
SE = σ/√n

אם n → 4n:
SE_חדש = σ/√(4n)
= σ/(2√n)
= (1/2) × (σ/√n)
= SE_ישן / 2

SE יקטן פי 2!

סימונים לשונות:
• σ² = שונות אוכלוסייה (פרמטר)
• s² = שונות מדגם (סטטיסטי)

נוסחה:
s² = Σ(xᵢ-x̄)² / (n-1)

תיקון הטיה:
חלוקה ב-(n-1) במקום n הופכת את s² לאומד לא מוטה של σ²

E(s²) = σ² ✓

הסיבה: משתמשים ב-x̄ (שמחושב מהמדגם עצמו) במקום μ
→ מאבדים דרגת חופש אחת
→ צריך לחלק ב-(n-1)

רווח סמך:
טווח ערכים שבו הפרמטר נמצא ברמת ביטחון מסוימת

דוגמה:
95% CI: [18, 22]
→ בטוחים ב-95% ש-μ בין 18 ל-22

נוסחת רווח סמך 95%:
CI = x̄ ± z*×(σ/√n)

ל-95%: z* = 1.96

CI = x̄ ± 1.96×(σ/√n)

חישוב CI:
1. SE = σ/√n = 10/√100 = 1

2. ME = z*×SE = 1.96×1 = 1.96

3. CI = 50 ± 1.96
= [48.04, 51.96]

ערכי z* נפוצים:
• 90% CI: z* = 1.645
• 95% CI: z* = 1.96
• 99% CI: z* = 2.576

משמעות נכונה:
אם נבנה רווחי סמך רבים (מאותה שיטה)
95% מהם יכילו את μ האמיתי

❌ לא: "95% סיכוי ש-μ ברווח הזה"
✓ כן: "95% מהרווחים יכילו את μ"

שולי טעות:
ME = z* × SE
= z* × (σ/√n)

רווח הסמך:
CI = x̄ ± ME

להצר את הרווח:
ME = z* × (σ/√n)

כדי להקטין ME:
✓ הגדלת n (√n בכיוון למטה)
✓ הקטנת רמת ביטחון (z* קטן יותר)
✓ הקטנת σ (אם אפשרי)

חישוב פשוט:
CI = x̄ ± ME
= 100 ± 5
= [95, 105]

רמת ביטחון vs רוחב:
99%: z* = 2.576
95%: z* = 1.96

99% > 95% → z* גדול יותר
→ ME גדול יותר
→ רווח רחב יותר

99% רחב יותר!

מציאת x̄:
x̄ = (L + U) / 2
= (45 + 55) / 2
= 100 / 2
= 50

x̄ תמיד באמצע הרווח!

מציאת ME:
ME = (U - L) / 2
= (52 - 48) / 2
= 4 / 2
= 2

או:
x̄ = 50
ME = 52 - 50 = 2

חישוב גודל מדגם:
ME = z* × (σ/√n)
3 = 1.96 × (15/√n)

√n = 1.96×15/3 = 9.8
n = (9.8)² = 96.04

מעגלים למעלה: n = 97

קשר בין n ל-ME:
ME = z* × (σ/√n)

אם n → 4n:
ME_חדש = z* × (σ/√(4n))
= z* × (σ/(2√n))
= ME_ישן / 2

ME יקטן פי 2!

חישוב:
1. SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5
2. z* = 2.576 (ל-99%)
3. ME = 2.576 × 2.5 = 6.44
4. CI = 75 ± 6.44
= [68.56, 81.44]

קשר בין רוחב ל-ME:
רוחב = (U - L)
= (x̄ + ME) - (x̄ - ME)
= 2ME

אם רוחב = 10:
2ME = 10
ME = 5

דיוק = רוחב:
CI₁: רוחב = 20-10 = 10
CI₂: רוחב = 25-15 = 10

שני הרווחים באותו רוחב
→ דיוק זהה!

💡 רווח צר = דיוק גבוה

רווח "מצליח":
רווח מצליח אם הפרמטר האמיתי נמצא בו

CI = [48, 52]
μ = 50

48 ≤ 50 ≤ 52 ✓

כן, הרווח מצליח!

הבדל מהותי:
• פרמטר = ערך קבוע (לא ידוע) של האוכלוסייה
דוגמאות: μ, σ, p

• סטטיסטי = ערך מחושב מהמדגם
דוגמאות: x̄, s, p̂

סטטיסטי משמש לאמוד פרמטר

ערכי z* נפוצים:
• 90%: z* = 1.645
• 95%: z* = 1.96
• 98%: z* = 2.326 ✓
• 99%: z* = 2.576

רוחב = 2×ME:
CI = [x̄-ME, x̄+ME]
= [30-4, 30+4]
= [26, 34]

רוחב = 34 - 26 = 8

או ישירות:
רוחב = 2×ME = 2×4 = 8

קשר ME ו-n:
ME ∝ 1/√n

להקטין ME פי k:
צריך להגדיל n פי k²

להקטין ME פי 3:
n → 9n

(3² = 9)

מתי להשתמש ב-t:
✓ σ לא ידוע (משתמשים ב-s)
✓ n קטן (n<30)
✓ אוכלוסייה נורמלית או קרובה

מתי להשתמש ב-z:
✓ σ ידוע
✓ או n גדול (n≥30) + CLT

דרגות חופש:
df = n - 1

למה n-1?
משתמשים ב-x̄ (שמחושב מהמדגם)
→ מאבדים דרגת חופש אחת

התנהגות t:
ככל ש-df גדל:
• t מתקרבת יותר ל-z
• הזנב נעשה דק יותר
• כש-df→∞, t=z

בפועל: df≥30 → t≈z

חישוב CI עם t:
1. SE = s/√n = 5/√10 = 1.581
2. ME = t*×SE = 2.262×1.581 = 3.576
3. CI = 20 ± 3.576
≈ [16.43, 23.57]

t שמרנית יותר:
באותה רמת ביטחון: t* > z*

דוגמה (95%):
• z* = 1.96
• t* (df=9) = 2.262

→ ME גדול יותר
→ רווח רחב יותר
→ שמרנית יותר

חישוב פשוט:
df = n - 1
= 25 - 1
= 24

ההבדל המרכזי:

z-CI:
CI = x̄ ± z*×(σ/√n)
משתמשים ב-σ (ידוע)

t-CI:
CI = x̄ ± t*×(s/√n)
משתמשים ב-s (מאומד)

ערכי t* נפוצים (95%):
• df=10: t*=2.228
• df=20: t*=2.086
• df=30: t*=2.042
• df=∞: t*=1.96 (=z*)

ככל ש-df גדל, t* מתקרב ל-1.96

תנאי שימוש ב-t:
כש-n קטן (n<30):
✓ אפשר אם האוכלוסייה נורמלית
✓ או קרוב לנורמלי

כש-n≥30:
✓ CLT מבטיח שזה בסדר

התנהגות t*:
df גדל → t* קטן → מתקרב ל-z*

דוגמה (95%):
• df=5: t*=2.571
• df=20: t*=2.086
• df=100: t*=1.984
• df=∞: t*=1.96 (z*)

חישוב ME:
SE = s/√n = 12/√16 = 12/4 = 3

ME = t* × SE
= 2.131 × 3
= 6.393

זנבות עבים ב-t:
סיבה: שני מקורות שונות:
1. שונות המדגם (x̄)
2. אי-וודאות באומדן s

s עצמו משתנה אקראי!
→ שכבה נוספת של וריאציה
→ זנבות עבות יותר

בחירה:
n=15 < 30 → מדגם קטן
בדרך כלל σ לא ידוע
→ משתמשים ב-t*

רק אם σ ידוע בוודאות → z*

רווח רחב יותר:
t* > z* באותה רמת ביטחון

דוגמה (95%):
z* = 1.96
t* (df=15) = 2.131

→ ME_t > ME_z
→ רווח רחב יותר

SE עם t:
SE = s/√n

משתמשים ב-s (סטיית תקן מדגמית)
במקום σ

חישוב SE:
SE = s/√n
= 20/√100
= 20/10
= 2

גבול:
כאשר df → ∞:
t → z (נורמלית סטנדרטית)

בפועל:
df ≥ 30 → t ≈ z

חישוב מלא:
1. SE = 15/√9 = 15/3 = 5
2. ME = 2.306 × 5 = 11.53
3. CI = 80 ± 11.53
= [68.47, 91.53]

טבלת t:
df=8, t*=2.306 → 95%

השוואה:
• 90%: t*=1.860
• 95%: t*=2.306 ✓
• 99%: t*=3.355

התכנסות:
כש-n גדול (בדרך כלל n≥30):
df = n-1 ≥ 29
→ t* ≈ z*

דוגמה (95%):
n=30: t*=2.045, z*=1.96
n=100: t*=1.984, z*=1.96

סימון פרופורציה:
• p = פרופורציה אוכלוסייה (פרמטר)
• p̂ = פרופורציה מדגם (סטטיסטי)

p̂ = x/n
x = מספר "הצלחות" במדגם

חישוב p̂:
p̂ = x/n
= 60/200
= 0.3
= 30%

שגיאת תקן לפרופורציה:
SE(p̂) = √[p̂(1-p̂)/n]

זו נוסחה שונה מממוצע!

נוסחת CI לפרופורציה:
CI = p̂ ± z*×SE(p̂)
= p̂ ± z*×√[p̂(1-p̂)/n]

ל-95%: z*=1.96

חישוב SE:
SE = √[p̂(1-p̂)/n]
= √[0.4×0.6/100]
= √[0.24/100]
= √0.0024
= 0.049 ≈ 0.05

חישוב מלא:
1. SE = √[0.6×0.4/200]
= √[0.24/200]
= √0.0012 = 0.0346

2. ME = 1.96×0.0346 = 0.068

3. CI = 0.6 ± 0.068
= [0.532, 0.668]

תנאי הצלחה:
np̂ ≥ 10
n(1-p̂) ≥ 10

שניהם צריכים להתקיים!
→ מספיק הצלחות וכישלונות
→ ניתן לקרב בנורמלית

בדיקה:
1. np̂ = 30×0.2 = 6 < 10 ✗
2. n(1-p̂) = 30×0.8 = 24 ≥ 10 ✓

תנאי לא מתקיימים!
לא מספיק "הצלחות"

נוסחת גודל מדגם:
n = (z*)²×p(1-p) / ME²
= (1.96)²×0.5×0.5 / (0.03)²
= 3.8416×0.25 / 0.0009
= 0.9604 / 0.0009
= 1067.1

מעגלים למעלה: n = 1068

p=0.5 הכי שמרני:
p(1-p) מקסימלי כש-p=0.5
→ 0.5×0.5 = 0.25

זה נותן את n הגדול ביותר
→ גישה שמרנית
→ מבטיח דיוק מספיק

מציאת p̂:
p̂ = (L + U) / 2
= (0.35 + 0.45) / 2
= 0.8 / 2
= 0.4

p̂ תמיד באמצע!

חישוב ME:
ME = (U - L) / 2
= (0.5 - 0.3) / 2
= 0.2 / 2
= 0.1

ההבדל:
ממוצע:
CI = x̄ ± z*×(σ/√n)
SE = σ/√n

פרופורציה:
CI = p̂ ± z*×√[p̂(1-p̂)/n]
SE = √[p̂(1-p̂)/n]

נוסחת SE שונה!

חישוב:
p̂ = x/n
= 100/400
= 0.25
= 25%

בדיקה:
1. np̂ = 50×0.3 = 15 ≥ 10 ✓
2. n(1-p̂) = 50×0.7 = 35 ≥ 10 ✓

שני התנאים מתקיימים!
אפשר להשתמש ב-z

להצר רווח:
ME = z*×√[p̂(1-p̂)/n]

כדי להקטין ME:
✓ הגדלת n
✓ הקטנת z* (רמת ביטחון נמוכה)

חישוב:
SE = √[p̂(1-p̂)/n]
= √[0.8×0.2/100]
= √[0.16/100]
= √0.0016
= 0.04

קושי אומדן:
p=0.1: מעט הצלחות במדגם
→ קשה יותר למצוא מספיק
→ דורש n גדול יותר

p=0.5: הרבה הצלחות וכישלונות
→ קל יותר לאמוד

חישוב:
1. SE = √[0.5×0.5/400]
= √[0.25/400]
= √0.000625
= 0.025

2. ME = 1.96×0.025
= 0.049 ≈ 0.05

יחס הפוך:
SE = √[p̂(1-p̂)/n]

n גדל → SE קטן
→ דיוק גבוה יותר
→ רווח צר יותר

מתי z:
1. σ ידוע (כל n)
2. או: n גדול (n≥30) + CLT

אחרת: t

רמת ביטחון vs רוחב:
99%: z*=2.576 (גדול)
90%: z*=1.645 (קטן)

ביטחון גבוה → z* גדול
→ ME גדול
→ רווח רחב יותר

פרשנות נכונה:
"אם נבנה רווחי סמך רבים באותה שיטה,
95% מהם יכילו את הפרמטר האמיתי"

זו תדירות ארוכת טווח!

הדרך הטובה:
הגדלת n (גודל מדגם)

למה זו הדרך הטובה?
✓ לא משפיעה על רמת ביטחון
✓ מקטינה את SE
✓ מצרה את הרווח

ההבדל:
אומד נקודתי:
ערך בודד (x̄=50, p̂=0.3)
לא מספר אי-וודאות

רווח סמך:
טווח ערכים ([48,52])
מבטא אי-וודאות
כולל רמת ביטחון

נוסחה כללית:
CI = אומד ± מכפיל_קריטי × SE

• אומד: x̄ או p̂
• מכפיל: z* או t*
• SE: שגיאת תקן

בדיקה:
CI = [48, 52]
μ = 55

55 לא בין 48 ל-52
→ רווח לא מצליח!

זה קורה ב-5% מהמקרים (95% CI)

לא ניתן להשוות!
יחידות מידה שונות:
• ממוצע: יחידות המדידה
• פרופורציה: 0-1

תלוי ב-σ, p, n

קשר:
ME ∝ 1/√n

n → 4n:
ME → ME/√4 = ME/2

רוחב = 2ME
→ רוחב יקטן פי 2

חשיבות רווח סמך:
✓ מבטא אי-וודאות
✓ מראה דיוק האומדן
✓ כולל רמת ביטחון
✓ מאפשר השוואה

אומד נקודתי לבד לא מספק!

קשר:
רמת ביטחון = 1 - α
רמת מובהקות = α

דוגמה:
95% ביטחון = α=0.05
99% ביטחון = α=0.01

משלימים זה את זה!

🎉 סיכום מבחן 11! 🎉

נושאים מרכזיים:
✓ אומדים: x̄, p̂, s
✓ שגיאת תקן (SE)
✓ רווחי סמך (CI)
✓ z vs t distribution
✓ ממוצע vs פרופורציה
✓ גודל מדגם
✓ רמות ביטחון

🎉 סיימנו מבחן 11!
התמקדנו באומדנים סטטיסטיים ורווחי סמך!