יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון

ניסוח רשמי:

אם שני משולשים דומים, אז יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים בהם שווה ליחס הצלעות המתאימות שלהם, כלומר ליחס הדמיון עצמו.

הסבר מורחב:

מעגל חסום במשולש הוא המעגל שנוגע בכל שלוש הצלעות של המשולש מבפנים. הרדיוס של המעגל הזה נקרא רדיוס המעגל החסום. כאשר מגדילים משולש באופן דומה, כלומר מכפילים את כל הצלעות באותו מספר, כל גודל לינארי במשולש גדל באותו יחס:

• כל צלע גדלה פי אותו מקדם.
• היקף המשולש גדל פי אותו מקדם.
• גם הרדיוס של המעגל החסום גדל פי אותו מקדם.

לכן אם יחס הדמיון בין המשולש הקטן לגדול הוא k, אז גם יחס רדיוסי המעגלים החסומים הקטן לגדול הוא k. זה משפט חזק שמאפשר לנו לעבוד עם מעגלים חסומים בלי לחשב את הרדיוס ישירות מתוך נוסחאות מורכבות.

רדיוס של מעגל חסום הוא אורך, כלומר גודל לינארי. כל גודל לינארי במשולשים דומים שומר את אותו יחס דמיון:

• צלעות ביחס 2 ל 5.
• גבהים ביחס 2 ל 5.
• רדיוסים חסומים ביחס 2 ל 5.

השטחים בלבד הם בריבוע יחס הדמיון. לכן כאן יחס הרדיוסים הוא 2 ל 5.

יחס קטן לגדול הוא 3 ל 4. רדיוס קטן 6 מתאים ליחידה 3:

• 6 חלקי 3 שווה 2.
• 2 כפול 4 שווה 8.

לכן רדיוס המעגל החסום במשולש הגדול הוא 8 סנטימטר.

יחס קטן לגדול הוא 2 ל 7. נעבור מהגדול לקטן:

• 21 חלקי 7 שווה 3.
• 3 כפול 2 שווה 6.

לכן רדיוס המעגל החסום במשולש הקטן הוא 6 סנטימטר.

נכון שיחס השטחים במשולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון, אבל זה נכון רק לשטחים. רדיוס הוא אורך, כמו צלע או גובה. הוא גדל באותו יחס דמיון, לא בריבוע שלו.

לכן אם יחס הדמיון הוא 2 ל 3:

• יחס רדיוסים חסומים יהיה 2 ל 3.
• יחס שטחים יהיה 4 ל 9.

רדיוס של מעגל חסום הוא גודל לינארי בתוך המשולש. כאשר המשולש גדל פי 2 בכל צלע, גם המרחק מהמרכז אל הצלעות גדל פי 2. לכן יחס הרדיוסים הוא 1 ל 2.

יחס רדיוסים קטן לגדול הוא 3 ל 12, מצטמצם ל 1 ל 4. לפי המשפט זה בדיוק יחס הדמיון בין המשולשים.

יחס דמיון מודל ל מקורי הוא 1 ל 10. כל גודל לינארי במקור גדול פי 10 מהמודל.

• רדיוס מודל 0 נקודה 8 סנטימטר, לכן רדיוס המקור הוא 0 נקודה 8 כפול 10 שווה 8.

רדיוס המעגל החסום במשולש המקורי הוא 8 סנטימטר.

כאשר הולכים מהמשולש הגדול לקטן, יחס הגודל קטן לגדול הוא 3 ל 5. כלומר הרדיוס הקטן הוא חלק קטן מהגדול:

• רדיוס קטן חלקי רדיוס גדול שווה 3 חלקי 5.

לכן רדיוס קטן שווה 20 כפול 3 חלקי 5, ולא 20 כפול 5 חלקי 3.

לפי המשפט, יחס הרדיוסים שווה ליחס הדמיון. אם רדיוס קטן לגדול הוא 1 ל 2, גם יחס הצלעות קטן לגדול הוא 1 ל 2.

מרכז המעגל החסום הוא נקודה במרחק שווה מכל שלוש הצלעות. רדיוס המעגל החסום הוא המרחק הזה. זהו אורך קטע, ולכן כאשר מגדילים משולש בקנה מידה k, גם המרחק הזה גדל פי k. לכן רדיוס המעגל החסום מתנהג בדיוק כמו צלע לגבי דמיון.

אין שום מניעה שיחס הדמיון יהיה 4 ל 9. אם משולש אחד הוא גרסה מוגדלת של השני כך שכל אורך לינארי גדל פי 9 חלקי 4, גם רדיוס המעגל החסום יגדל באותו יחס. לכן יחס רדיוסים 4 ל 9 בהחלט יכול להיות יחס דמיון.

רדיוס המעגל החסום הוא אורך קטע שמודד מרחק מצלעות המשולש. כאשר מגדילים את המשולש באופן דומה פי k:

• כל צלע מוכפלת פי k.
• כל מרחק קבוע מהמוקד לצלעות מוכפל פי k.

לכן רדיוס המעגל החסום החדש הוא k כפול r.

יחס רדיוסים 2 ל 3 הוא גם יחס הצלעות וגם יחס הדמיון. יחס השטחים במשולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון:

• 2 בריבוע ל 3 בריבוע שווה 4 ל 9.

לכן יחס השטחים קטן לגדול הוא 4 ל 9.

רדיוס המעגל החסום הוא רק מידע אחד על המשולש. יכולים להיות משולשים שונים מאוד עם אותו רדיוס חסום, למשל:

• משולש שווה צלעות.
• משולש ישר זווית צר.

לכן שוויון ברדיוס בלבד אינו מבטיח דמיון, אלא רק שאם המשולשים כבר דומים אז יחס הרדיוסים זהה ליחס הדמיון.

המרחק מהמרכז אל הצלע הוא אורך קטע. כאשר מגדילים את המשולש פי k בכל כיוון, גם המרחק הזה מוכפל פי k. אין סיבה לריבוע או לשורש. אלה מופיעים רק כאשר מדברים על שטח.

יחס רדיוסים קטן לגדול הוא 2 ל 6, מצטמצם ל 1 ל 3. זהו יחס הדמיון. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

• 1 בריבוע ל 3 בריבוע שווה 1 ל 9.

לכן יחס השטחים קטן לגדול הוא 1 ל 9.

יחס קטן לגדול הוא 4 ל 9. נשתמש בפרופורציה:

רדיוס קטן חלקי רדיוס גדול שווה 4 חלקי 9.

רדיוס קטן שווה 22 נקודה חמש כפול 4 חלקי 9.

22 נקודה חמש חלקי 9 שווה בערך 2 נקודה חמש, כפול 4 נותן 10.

לכן רדיוס המעגל החסום במשולש הקטן הוא 10 סנטימטר.

אם משולשים דומים ורדיוסי המעגלים החסומים שווים, אז יחס הרדיוסים הוא 1 ל 1. לפי המשפט זהו גם יחס הדמיון, כלומר יחס הצלעות הוא 1 ל 1. משמעות הדבר שהמשולשים שווים בגודל ובצורה, כלומר חופפים.

כמו שאורך צלע אחת אינו מספיק לדמיון, גם יחס רדיוסים בלבד אינו מבטיח דמיון. שני משולשים יכולים במקרה לקבל רדיוסים חסומים ביחס מסוים אך להיות שונים בצורותיהם.

משפט הדמיון לגבי רדיוסים אומר שרדיוסים מתנהגים כמו צלעות כאשר כבר ידוע שהמשולשים דומים. הוא לא נותן תנאי מספיק לבד.

יחס רדיוסי המעגלים החסומים קטן לגדול הוא 6 ל 9, מצטמצם ל 2 ל 3. זהו בדיוק יחס הדמיון לפי המשפט. לכן יחס הדמיון קטן לגדול הוא 2 ל 3.

יחס הדמיון קטן לגדול 5 ל 6. רדיוס הוא גודל לינארי ולכן מתנהג כמו הצלעות:

• 2 נקודה חמש חלקי 5 שווה 0 נקודה 5.
• 0 נקודה 5 כפול 6 שווה 3.

לכן רדיוס המעגל החסום במשולש הגדול הוא 3 סנטימטר.

רדיוס חסום הוא גודל לינארי ולכן יחס הרדיוסים שווה ליחס הדמיון. היקף הוא סכום צלעות ולכן גם הוא גודל לינארי.

לכן יחס ההיקפים קטן לגדול הוא 4 ל 7.

נמיר את שני הרדיוסים לאותן יחידות:

• גג אמיתי: 1 נקודה 2 מטר שווה 120 סנטימטר.
• מודל: 6 סנטימטר.

יחס מודל ל אמת הוא 6 ל 120, מצטמצם ל 1 ל 20. זהו יחס הדמיון.

המשפט אומר: כאשר שני משולשים דומים, כל גודל לינארי בהם, כולל רדיוס המעגל החסום, גדל או קטן לפי אותו יחס דמיון. כלומר אם משולש אחד הוא גרסה מוגדלת של השני פי k, אז:

• כל צלע גדלה פי k.
• היקף גדל פי k.
• רדיוס המעגל החסום גדל פי k.

השטחים בלבד גדלים לפי k בריבוע. זה ההבדל הגדול בין גדלים לינאריים לבין שטח.