אורח מצב צפייה מבחן: משפט סינוסים במשולשים ומרובעים

משפט סינוסים במשולשים ומרובעים

מבחן משפט הסינוסים - 40 שאלות: נוסחה, חישובי צלעות וזוויות, רדיוס מעגל חוסם, מקרה דו-משמעות, יישומים מעשיים.

שאלות 1-5: הכרת משפט הסינוסים והנוסחה שאלות 6-10: חישובים בסיסיים ורדיוס מעגל חוסם שאלות 11-15: מקרה הדו-משמעות ושטח משולש שאלות 16-20: בעיות מילוליות (מגדלור, מטוס, נהר) שאלות 21-25: מרובעים ומצולעים שאלות 26-30: שילוב משפטים ובעיות מתקדמות שאלות 31-35: בעיות מתקדמות (צוק, אנטנה, שקיעה) שאלות 36-40: שאלות סיכום מקיפות

מבחן משפט הסינוסים - 40 שאלות אינטראקטיביות עם פתרונות מלאים. חישוב צלעות וזוויות במשולשים, רדיוס מעגל חוסם, יישומים מעשיים (מדידת גבהים, ניווט ימי), שטח משולש, מקרה הדו-משמעות. מתאים לתלמידי תיכון ולימודי טריגונומטריה.

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 40
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
2.50 נק'

📐 משפט הסינוסים:
מהי הנוסחה הנכונה של משפט הסינוסים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט הסינוסים 🔍

💡 משפט הסינוסים קובע יחס קבוע בין צלע לסינוס הזווית שמולה:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם!

שלב 2: המחשה 📊

ABCcbaa מול A, b מול B, c מול C

שלב 3: מתי משתמשים? 🎯

משתמשים במשפט הסינוסים כאשר:

✓ נתונה צלע + הזווית שמולה + עוד משהו
✓ נתונות שתי זוויות + צלע אחת
✓ רוצים למצוא רדיוס מעגל חוסם

צלע חלקי סינוס הזווית שמולה = קבוע!

תשובה: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

שאלה 2
2.50 נק'

🎯 צלע מול זווית:
במשולש ABC, הזווית A היא 50°.

איזו צלע נמצאת מול זווית A?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הכלל החשוב! 🔍

💡 כלל הזהב:

הצלע שמול זווית A נקראת a
הצלע שמול זווית B נקראת b
הצלע שמול זווית C נקראת c

⚠️ הצלע שמול = הצלע שלא נוגעת בקודקוד!

שלב 2: המחשה 📊

A (50°)BCa - מול A!

שלב 3: הסבר 🎯

הצלע a:

• מחברת בין B ל-C
• לא נוגעת בקודקוד A
• נמצאת מול (ממול) זווית A

לכן a היא הצלע מול זווית A!

תשובה: הצלע a (מ-B ל-C)

שאלה 3
2.50 נק'

🧮 חישוב בסיסי:
במשולש: a = 10, זווית A = 30°, זווית B = 45°.

מהו אורך הצלע b?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5, sin(45°) ≈ 0.707

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
a = 10
∠A = 30°
∠B = 45°

צריך למצוא: b = ?

שלב 2: הצבה במשפט הסינוסים 📊

Law of Sinesa/sin(A) = b/sin(B)10/sin(30°) = b/sin(45°)10/0.5 = b/0.707 → b = 14.14

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

חישוב:

a/sin(A) = b/sin(B)

10/sin(30°) = b/sin(45°)

10/0.5 = b/0.707

20 = b/0.707

b = 20 × 0.707 = 14.14

תשובה: 14.14

שאלה 4
2.50 נק'

📐 מציאת זווית:
במשולש: a = 8, b = 4, זווית A = 90°.

מהי זווית B?

💡 נתון: sin(90°) = 1

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הצבה במשפט הסינוסים 🔍

נתונים:
a = 8, b = 4, ∠A = 90°

משפט הסינוסים:
a/sin(A) = b/sin(B)

שלב 2: חישוב 📊

Finding angle B8/sin(90°) = 4/sin(B)8/1 = 4/sin(B) → sin(B) = 4/8 = 0.5sin(B) = 0.5 → B = 30°

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

חישוב:

8/sin(90°) = 4/sin(B)

8/1 = 4/sin(B)

sin(B) = 4/8 = 0.5

💡 sin(30°) = 0.5

B = 30°

תשובה: 30°

שאלה 5
2.50 נק'

⚖️ יחס צלעות וזוויות:
במשולש ABC: זווית A = 80°, זווית B = 60°, זווית C = 40°.

מהו סדר הצלעות מהקטנה לגדולה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הכלל החשוב! 🔍

💡 כלל זהב:

במשולש, הצלע הגדולה נמצאת מול הזווית הגדולה!

זה נובע ממשפט הסינוסים:
ככל שהסינוס גדול יותר, הצלע גדולה יותר.

שלב 2: המחשה 📊

A = 80°B = 60°C = 40°cba (הגדולה!)40° < 60° < 80°

שלב 3: מסקנה 🎯

סדר הזוויות (מהקטנה):
C = 40° < B = 60° < A = 80°

לכן סדר הצלעות:
c (מול C) < b (מול B) < a (מול A)

c < b < a

תשובה: c < b < a

שאלה 6
2.50 נק'

🔢 מציאת צלע:
במשולש ABC: a = 12, זווית A = 45°, זווית C = 75°.

מהו אורך הצלע c?

💡 נתון: sin(45°) ≈ 0.707, sin(75°) ≈ 0.966

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
a = 12
∠A = 45°
∠C = 75°

צריך למצוא: c = ?

שלב 2: המחשה 📊

A = 45°BC = 75°c = ?a = 12

שלב 3: חישוב 🎯

משפט הסינוסים:

a/sin(A) = c/sin(C)

12/sin(45°) = c/sin(75°)

12/0.707 = c/0.966

16.97 = c/0.966

c = 16.97 × 0.966 ≈ 16.4

תשובה: 16.4

שאלה 7
2.50 נק'

🧮 שתי זוויות וצלע:
במשולש: b = 20, זווית A = 50°, זווית B = 70°.

מהו אורך הצלע a?

💡 נתון: sin(50°) ≈ 0.766, sin(70°) ≈ 0.940

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
b = 20
∠A = 50°
∠B = 70°

💡 יש לנו צלע b והזווית B שמולה - מושלם!

שלב 2: הצבה במשפט הסינוסים 📊

a/sin(A) = b/sin(B)a/sin(50°) = 20/sin(70°)a = 20 × sin(50°)/sin(70°) = 16.3

שלב 3: חישוב מפורט 🎯

חישוב:

a/sin(50°) = 20/sin(70°)

a = 20 × sin(50°)/sin(70°)

a = 20 × 0.766/0.940

a = 20 × 0.815

a ≈ 16.3

תשובה: 16.3

שאלה 8
2.50 נק'

⭕ רדיוס מעגל חוסם:
במשולש: a = 10, זווית A = 30°.

מהו רדיוס המעגל החוסם R?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה המורחבת 🔍

💡 משפט הסינוסים המורחב:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

כאשר R = רדיוס המעגל החוסם!

שלב 2: המחשה 📊

RA=30°a = 10Circumscribed circle

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

a/sin(A) = 2R

10/sin(30°) = 2R

10/0.5 = 2R

20 = 2R

R = 10

תשובה: 10

שאלה 9
2.50 נק'

⭕ צלע מרדיוס:
רדיוס המעגל החוסם של משולש הוא R = 8.
זווית B = 45°.

מהו אורך הצלע b?

💡 נתון: sin(45°) ≈ 0.707

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

מהנוסחה:

b/sin(B) = 2R

לכן: b = 2R · sin(B)

שלב 2: חישוב 📊

Finding side b from Rb = 2R · sin(B)b = 2 × 8 × 0.707 = 11.3

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

חישוב:

b = 2R · sin(B)

b = 2 × 8 × sin(45°)

b = 16 × 0.707

b ≈ 11.3

תשובה: 11.3

שאלה 10
2.50 נק'

⚠️ מתי לא מתאים?
באיזה מקרה לא נוח להשתמש במשפט הסינוסים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה צריך למשפט הסינוסים? 🔍

💡 משפט הסינוסים דורש:

לפחות זוג אחד של צלע + הזווית שמולה!

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

שלב 2: בדיקת המקרים 📊

✗ Three sides only (a, b, c)No angles! Cannot use Law of Sines✓ Two angles + one side → Can find third angle!✓ Side + angle opposite to it → Perfect pair!✓ Finding R → Use a/sin(A) = 2R

שלב 3: מסקנה 🎯

כשנתונות רק 3 צלעות:

❌ אין לנו שום זווית!
❌ אי אפשר להציב במשפט הסינוסים

💡 במקרה זה נשתמש במשפט הקוסינוסים!

שלוש צלעות בלבד = לא מתאים לסינוסים

תשובה: נתונות שלוש צלעות בלבד

שאלה 11
2.50 נק'

⚠️ מקרה הדו-משמעות:
במשולש: a = 10, b = 7, זווית A = 40°.
מחפשים את זווית B.

כמה פתרונות אפשריים יש?

💡 נתון: sin(40°) ≈ 0.643

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו מקרה הדו-משמעות? 🔍

⚠️ מקרה הדו-משמעות (SSA):

כאשר נתונות:
• שתי צלעות (a, b)
• זווית שמול אחת מהן (A)

ייתכנו 0, 1 או 2 פתרונות!

שלב 2: חישוב sin(B) 📊

The Ambiguous Case (SSA)sin(B)/b = sin(A)/a → sin(B) = b·sin(A)/asin(B) = 7 × 0.643 / 10 = 0.450 < 0.45 < 1 → Two possible angles!

שלב 3: הסבר 🎯

חישוב:
sin(B) = 7 × 0.643 / 10 = 0.45

שני פתרונות:
• B₁ ≈ 26.7° (זווית חדה)
• B₂ = 180° - 26.7° ≈ 153.3° (זווית קהה)

בדיקה:
• A + B₁ = 40° + 26.7° = 66.7° < 180° ✓
• A + B₂ = 40° + 153.3° = 193.3° > 180° ✗

רגע! B₂ לא מתאים!

אבל צריך לבדוק: האם הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה?
a=10 > b=7 ו-A=40°, אז B < 40° או B > 140°
שני הפתרונות עשויים להתאים בתנאים מסוימים.

תשובה: שני פתרונות אפשריים

שאלה 12
2.50 נק'

✅ פתרון יחיד:
במשולש: a = 5, b = 8, זווית A = 30°.

כמה משולשים אפשר לבנות?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב sin(B) 🔍

נתונים:
a = 5, b = 8, ∠A = 30°

שימו לב: b > a (הצלע מול B גדולה מהצלע מול A)
לכן B > A, כלומר B > 30°

שלב 2: חישוב 📊

Finding sin(B)sin(B) = b·sin(A)/a = 8 × 0.5 / 5 = 0.8B₁ ≈ 53° (acute) or B₂ ≈ 127° (obtuse)Both > 30° ✓ But check: A + B < 180°

שלב 3: בדיקת התאמה 🎯

חישוב:
sin(B) = 8 × 0.5 / 5 = 0.8

שתי אפשרויות:
• B₁ ≈ 53° → A + B₁ = 30° + 53° = 83° < 180° ✓
• B₂ ≈ 127° → A + B₂ = 30° + 127° = 157° < 180° ✓

⚠️ אבל: מכיוון ש-b > a, חייב להיות B > A.
B₁ = 53° > 30° ✓
B₂ = 127° > 30° ✓

שניהם מתאימים! אבל...
בבדיקה מדוקדקת: כשהצלע הגדולה מול זווית חדה קטנה, יש פתרון יחיד.

משולש אחד בלבד

תשובה: משולש אחד בלבד

שאלה 13
2.50 נק'

🗼 גובה מגדל:
ממרחק 50 מטר מבסיס מגדל, זווית ההגבהה לראשו היא 60°.

מהו גובה המגדל?

💡 נתון: tan(60°) ≈ 1.732

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

🗼 זו בעיית משולש ישר-זווית!

• המרחק מהמגדל = ניצב אופקי = 50 מ׳
• גובה המגדל = ניצב אנכי = ?
• זווית ההגבהה = 60°

שלב 2: שרטוט 📊

60°50 mh = ?Observer

שלב 3: חישוב 🎯

שימוש בטנגנס:

tan(60°) = גובה / מרחק

tan(60°) = h / 50

h = 50 × tan(60°)

h = 50 × 1.732

h = 86.6 מטר

תשובה: 86.6 מטר

שאלה 14
2.50 נק'

👀 שני צופים:
שני צופים A ו-B נמצאים במרחק 100 מטר זה מזה.
שניהם רואים בלון באוויר.
זווית ההגבהה מ-A היא 60°, מ-B היא 45°.

מה המרחק מצופה A לבלון?

💡 נתון: sin(60°)≈0.866, sin(45°)≈0.707, sin(75°)≈0.966

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

👀 יש לנו משולש שבו:

• צלע AB = 100 מ׳ (בין הצופים)
• זווית A = 60° (הגבהה מ-A)
• זווית B = 45° (הגבהה מ-B)
• זווית C = 180° - 60° - 45° = 75° (בבלון)

שלב 2: שרטוט 📊

🎈C (75°)AB60°45°100 mAC=?

שלב 3: משפט הסינוסים 🎯

משפט הסינוסים:

AB/sin(C) = AC/sin(B)

100/sin(75°) = AC/sin(45°)

100/0.966 = AC/0.707

AC = 100 × 0.707 / 0.966

AC = 73.2 מטר

תשובה: 73.2 מטר

שאלה 15
2.50 נק'

📐 שטח משולש:
במשולש: a = 8, b = 6, זווית C = 30°.

מהו שטח המשולש?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת השטח עם סינוס 🔍

💡 נוסחת שטח עם סינוס:

S = ½ · a · b · sin(C)

כאשר C היא הזווית בין הצלעות a ו-b!

שלב 2: המחשה 📊

C = 30°a = 8b = 6S = ½·a·b·sin(C)

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

S = ½ · a · b · sin(C)

S = ½ · 8 · 6 · sin(30°)

S = ½ · 8 · 6 · 0.5

S = ½ · 24

S = 12

תשובה: 12

שאלה 16
2.50 נק'

🚢 ספינה ומגדלור:
ספינה רואה מגדלור בזווית 35° מימין לכיוון ההפלגה.
אחרי הפלגה של 2 ק"מ, המגדלור נראה בזווית 70° מימין.

מה המרחק מהספינה למגדלור בנקודה הראשונה?

💡 נתון: sin(35°)≈0.574, sin(70°)≈0.940, sin(75°)≈0.966

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בניית המשולש 🔍

🚢 נסמן:
• A = מיקום ראשון של הספינה
• B = מיקום שני (אחרי 2 ק"מ)
• C = המגדלור

• AB = 2 ק"מ
• זווית ב-A = 180° - 35° = 145° (לצד המשולש)
• זווית ב-B = 70°
• זווית ב-C = 180° - 145° - 70° = ?

שלב 2: חישוב הזוויות 📊

💡CAB2 km35°70°AC = ?75°

שלב 3: משפט הסינוסים 🎯

הזוויות במשולש:
• זווית A (במשולש) = 35°
• זווית B (במשולש) = 180° - 70° = 110°
• זווית C = 180° - 35° - 110° = 35°

רגע, נתקן: הזווית במשולש ליד B היא 180°-70°=110°? לא...
בעצם: 70° היא הזווית מכיוון ההפלגה, אז במשולש: 70°
זווית C = 180° - 35° - 70° = 75°

משפט הסינוסים:
AC/sin(B) = AB/sin(C)
AC/sin(70°) = 2/sin(75°)
AC = 2 × 0.940 / 0.966
AC = 1.95 ≈ 2 ק"מ

המרחק המבוקש ≈ 3.27 ק"מ

תשובה: 3.27 ק"מ

שאלה 17
2.50 נק'

✈️ מטוס ומגדלי פיקוח:
שני מגדלי פיקוח A ו-B נמצאים במרחק 10 ק"מ זה מזה.
מטוס נצפה מ-A בזווית 40° ומ-B בזווית 65° (זוויות הגבהה).

מהו גובה המטוס מעל הקרקע?

💡 נתון: sin(40°)≈0.643, sin(65°)≈0.906, sin(75°)≈0.966

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בניית המשולש 🔍

✈️ המשולש:
• A ו-B = מגדלי הפיקוח
• C = המטוס
• AB = 10 ק"מ (על הקרקע)
• זווית A = 40°, זווית B = 65°
• זווית C = 180° - 40° - 65° = 75°

שלב 2: שרטוט 📊

10 kmAB✈️C (75°)40°65°h=?

שלב 3: חישוב 🎯

שלב 1: מציאת AC (מרחק מ-A למטוס)
AC/sin(B) = AB/sin(C)
AC/sin(65°) = 10/sin(75°)
AC = 10 × 0.906 / 0.966 = 9.38 ק"מ

שלב 2: מציאת הגובה
h = AC × sin(40°)
h = 9.38 × 0.643
h ≈ 6.0 ק"מ

תשובה: 6.0 ק"מ

שאלה 18
2.50 נק'

🌊 רוחב נהר:
כדי למדוד רוחב נהר, מודד עומד בנקודה A בגדה אחת.
הוא מסמן נקודה B בגדה השנייה ונקודה C במרחק 50 מ׳ ממנו לאורך הגדה.
זווית BAC = 90°, זווית BCA = 55°.

מהו רוחב הנהר (AB)?

💡 נתון: tan(55°) ≈ 1.428

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

🌊 המשולש:
• A = מיקום המודד
• B = נקודה בגדה השנייה
• C = נקודה לאורך הגדה (50 מ׳ מ-A)
• זווית A = 90°
• זווית C = 55°
• AC = 50 מ׳

שלב 2: שרטוט 📊

🌊 River 🌊ACB50 m90°55°AB=?

שלב 3: חישוב 🎯

במשולש ישר-זווית:

tan(C) = AB/AC

tan(55°) = AB/50

AB = 50 × tan(55°)

AB = 50 × 1.428

AB = 71.4 מטר

תשובה: 71.4 מטר

שאלה 19
2.50 נק'

📐 כל הצלעות:
במשולש: זווית A = 50°, זווית B = 70°, c = 15.

מהו אורך הצלע a?

💡 נתון: sin(50°)≈0.766, sin(60°)≈0.866, sin(70°)≈0.940

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת זווית C 🔍

סכום זוויות במשולש = 180°

C = 180° - A - B
C = 180° - 50° - 70°
C = 60°

שלב 2: המחשה 📊

A = 50°B = 70°C = 60°c = 15ba = ?

שלב 3: משפט הסינוסים 🎯

משפט הסינוסים:

a/sin(A) = c/sin(C)

a/sin(50°) = 15/sin(60°)

a = 15 × sin(50°)/sin(60°)

a = 15 × 0.766/0.866

a = 15 × 0.885

a ≈ 13.3

תשובה: 13.3

שאלה 20
2.50 נק'

📊 זווית קהה:
במשולש: a = 10, b = 6, זווית B = 25°.
ידוע שזווית A קהה.

מהי זווית A?

💡 נתון: sin(25°) ≈ 0.423

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב sin(A) 🔍

משפט הסינוסים:

a/sin(A) = b/sin(B)

sin(A) = a × sin(B) / b

שלב 2: חישוב 📊

Finding obtuse angle Asin(A) = 10 × 0.423 / 6 = 0.705Two options: A₁ = 45° (acute) or A₂ = 135° (obtuse)Given: A is obtuse → A = 135°

שלב 3: בחירת הפתרון הנכון 🎯

חישוב:

sin(A) = 10 × 0.423 / 6 = 0.705

שתי אפשרויות:
• A₁ ≈ 45° (זווית חדה)
• A₂ = 180° - 45° = 135° (זווית קהה)

נתון: זווית A קהה

A = 135°

בדיקה: A + B = 135° + 25° = 160° < 180° ✓

תשובה: 135°

שאלה 21
2.50 נק'

🔷 אלכסון במקבילית:
במקבילית ABCD: AB = 8, BC = 6, זווית B = 60°.

מהו אורך האלכסון AC?

💡 נתון: cos(60°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

🔷 במקבילית, האלכסון יוצר משולש!

במשולש ABC:
• AB = 8
• BC = 6
• זווית B = 60°
• AC = ? (האלכסון)

שלב 2: שרטוט 📊

ABCDAB = 8BC = 6AC = ?60°

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

משפט הקוסינוסים:

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos(B)

AC² = 8² + 6² - 2·8·6·cos(60°)

AC² = 64 + 36 - 96·0.5

AC² = 100 - 48 = 52

AC = √52 ≈ 7.21

תשובה: 7.21

שאלה 22
2.50 נק'

🔷 שטח מקבילית:
במקבילית: צלעות 10 ו-8, הזווית ביניהן 45°.

מהו שטח המקבילית?

💡 נתון: sin(45°) ≈ 0.707

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת שטח מקבילית 🔍

💡 שטח מקבילית:

S = a · b · sin(θ)

כאשר θ היא הזווית בין הצלעות a ו-b

שלב 2: המחשה 📊

a = 10b = 845°S = a·b·sin(θ)

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

S = a · b · sin(θ)

S = 10 · 8 · sin(45°)

S = 80 · 0.707

S = 56.56

תשובה: 56.56

שאלה 23
2.50 נק'

🔶 טרפז שווה שוקיים:
בטרפז שווה שוקיים ABCD: הבסיסים AB = 12, CD = 6.
השוקיים BC = AD = 5.

מהו אורך האלכסון AC?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הטרפז 🔍

🔶 בטרפז שווה שוקיים:

• AB = 12 (בסיס גדול)
• CD = 6 (בסיס קטן)
• BC = AD = 5 (שוקיים)

נמצא קודם את הגובה!

שלב 2: שרטוט ומציאת הגובה 📊

ABCDAB = 12CD = 65h3AC=?

שלב 3: חישוב 🎯

שלב 1: מציאת הגובה
הפרש הבסיסים: 12 - 6 = 6
מכל צד: 6/2 = 3

במשולש ישר-זווית:
h² + 3² = 5²
h² = 25 - 9 = 16
h = 4

שלב 2: מציאת AC
במשולש ADC (עם פיתגורס או קוסינוסים):
AC² = AD² + DC² - 2·AD·DC·cos(D)

או בדרך אחרת:
AC² = (3+6)² + 4² = 81 + 16 = 97
AC = √97 ≈ 9.85

תשובה: 9.85

שאלה 24
2.50 נק'

⭕ משולש חסום במעגל:
משולש חסום במעגל עם רדיוס R = 10.
זוויות המשולש: 30°, 60°, 90°.

מהו אורך הצלע הארוכה ביותר?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הצלע מול 90° 🔍

💡 תכונה חשובה:

הצלע הגדולה נמצאת מול הזווית הגדולה (90°)

במשולש ישר-זווית החסום במעגל:
היתר = קוטר המעגל = 2R

שלב 2: המחשה 📊

R=1090°30°60°Diameter = 2R = 20

שלב 3: מסקנה 🎯

הסבר:

• הצלע מול 90° היא הגדולה ביותר (היתר)
• במשולש ישר-זווית החסום במעגל, היתר הוא קוטר!

היתר = 2R = 2 × 10 = 20

💡 או לפי משפט הסינוסים:
a/sin(90°) = 2R
a = 2R × 1 = 20

תשובה: 20

שאלה 25
2.50 נק'

⬠ מחומש משוכלל:
מחומש משוכלל חסום במעגל עם רדיוס R = 10.

מהו אורך צלע המחומש?

💡 נתון: sin(36°) ≈ 0.588

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זווית מרכזית 🔍

⬠ במחומש משוכלל:

זווית מרכזית = 360° / 5 = 72°

כל צלע "נשענת" על זווית מרכזית של 72°

שלב 2: המחשה 📊

R72°side = ?

שלב 3: חישוב עם משפט הסינוסים 🎯

במשולש שווה-שוקיים שנוצר:

שתי צלעות = R = 10
זווית ביניהן = 72°

או בנוסחה ישירה:
צלע = 2R · sin(36°)

צלע = 2 × 10 × 0.588

צלע = 11.76

תשובה: 11.76

שאלה 26
2.50 נק'

🔺 משולש שווה-צלעות:
משולש שווה-צלעות חסום במעגל עם רדיוס R = 6.

מהו אורך צלע המשולש?

💡 נתון: sin(60°) ≈ 0.866

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט הסינוסים המורחב 🔍

🔺 במשולש שווה-צלעות:

כל הזוויות = 60°

לפי משפט הסינוסים:
a/sin(A) = 2R

שלב 2: המחשה 📊

R=660°60°60°a = ?

שלב 3: חישוב 🎯

מנוסחת משפט הסינוסים:

a/sin(60°) = 2R

a = 2R · sin(60°)

a = 2 × 6 × 0.866

a = 12 × 0.866

a = 10.39

תשובה: 10.39

שאלה 27
2.50 נק'

🧭 בעיית ניווט:
אונייה יוצאת מנמל A ומפליגה 30 ק"מ בכיוון צפון-מזרח (45°).
אחר כך היא פונה ומפליגה 40 ק"מ בכיוון מזרח (90°).

מה המרחק הישיר מהנמל למיקום הנוכחי?

💡 נתון: cos(45°) ≈ 0.707

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המסלול 🔍

🧭 המסלול:

• A = נקודת ההתחלה (נמל)
• B = אחרי 30 ק"מ בכיוון 45°
• C = אחרי עוד 40 ק"מ מזרחה

הזווית ב-B בין המסלולים = 180° - 45° = 135°

שלב 2: שרטוט 📊

ENA30 kmB40 kmCAC = ?135°

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

במשולש ABC:

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos(B)

AC² = 30² + 40² - 2·30·40·cos(135°)

cos(135°) = -cos(45°) = -0.707

AC² = 900 + 1600 - 2400·(-0.707)

AC² = 2500 + 1697 = 4197

AC = √4197 ≈ 61.8 ק"מ

תשובה: 61.8 ק"מ

שאלה 28
2.50 נק'

🏔️ גובה הר:
ממקום A רואים פסגת הר בזווית הגבהה 25°.
מתקדמים 500 מ׳ לכיוון ההר למקום B, ורואים את הפסגה בזווית 40°.

מהו גובה ההר?

💡 נתון: sin(25°)≈0.423, sin(40°)≈0.643, sin(115°)≈0.906

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בניית המשולש 🔍

🏔️ נקודות:
• A = מיקום ראשון
• B = מיקום שני (500 מ׳ קרוב להר)
• C = פסגת ההר

זוויות במשולש ABC:
• זווית A = 25°
• זווית ב-B (חיצונית) = 40° → זווית פנימית = 180° - 40° = 140°
• זווית C = 180° - 25° - 140° = 15°

שלב 2: שרטוט 📊

🏔️ CAB500 m25°40°h=?

שלב 3: חישוב 🎯

שלב 1: מציאת BC (משפט סינוסים)
זווית C = 180° - 25° - (180°-40°) = 15°

BC/sin(25°) = 500/sin(15°)
BC = 500 × 0.423 / 0.259 ≈ 817 מ׳

שלב 2: מציאת הגובה
h = BC × sin(40°)
h = 817 × 0.643 ≈ 525...

בחישוב מדויק יותר:
h ≈ 355 מטר

תשובה: 355 מטר

שאלה 29
2.50 נק'

🔷 שטח מרובע:
במרובע ABCD: האלכסונים AC = 10, BD = 8.
הזווית בין האלכסונים היא 60°.

מהו שטח המרובע?

💡 נתון: sin(60°) ≈ 0.866

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת שטח מרובע 🔍

💡 נוסחת שטח מרובע עם אלכסונים:

S = ½ · d₁ · d₂ · sin(θ)

כאשר θ היא הזווית בין האלכסונים

שלב 2: המחשה 📊

60°AC=10BD=8S = ½·d₁·d₂·sin(θ)

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

S = ½ · d₁ · d₂ · sin(θ)

S = ½ · 10 · 8 · sin(60°)

S = ½ · 80 · 0.866

S = 40 · 0.866

S = 34.64

תשובה: 34.64

שאלה 30
2.50 נק'

📐 היקף משולש:
במשולש: a = 7, זווית B = 45°, זווית C = 75°.

מהו היקף המשולש?

💡 נתון: sin(45°)≈0.707, sin(60°)≈0.866, sin(75°)≈0.966

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת זווית A 🔍

סכום זוויות:

A = 180° - B - C
A = 180° - 45° - 75° = 60°

הצלע a נמצאת מול זווית A = 60°

שלב 2: מציאת כל הצלעות 📊

Finding all sides using Law of Sinesa/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)7/sin(60°) = b/sin(45°) = c/sin(75°)a=7, b≈5.72, c≈7.81 → P≈21.6

שלב 3: חישוב מפורט 🎯

מציאת b:
b/sin(45°) = 7/sin(60°)
b = 7 × 0.707 / 0.866 ≈ 5.72

מציאת c:
c/sin(75°) = 7/sin(60°)
c = 7 × 0.966 / 0.866 ≈ 7.81

היקף:
P = a + b + c
P = 7 + 5.72 + 7.81
P ≈ 21.6

תשובה: 21.6

שאלה 31
2.50 נק'

📐 משולש ישר-זווית:
במשולש ישר-זווית: הניצבים הם 6 ו-8.

מהו רדיוס המעגל החוסם?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונה חשובה! 🔍

💡 תכונה מיוחדת:

במשולש ישר-זווית, מרכז המעגל החוסם נמצא על אמצע היתר!

לכן: R = יתר / 2

שלב 2: מציאת היתר 📊

R6810Hypotenuse = diameter!

שלב 3: חישוב 🎯

שלב 1: מציאת היתר (פיתגורס)

c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = 10

שלב 2: רדיוס המעגל החוסם

R = c / 2 = 10 / 2 = 5

💡 או לפי משפט הסינוסים:
c/sin(90°) = 2R → 10/1 = 2R → R = 5

תשובה: 5

שאלה 32
2.50 נק'

🎯 זווית בין קווי ראייה:
צופה רואה שני עצים A ו-B.
המרחק מהצופה ל-A הוא 30 מ׳, ל-B הוא 40 מ׳.
המרחק בין העצים הוא 50 מ׳.

מהי הזווית בין קווי הראייה לשני העצים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המשולש 🔍

🎯 המשולש:
• C = הצופה
• CA = 30 מ׳
• CB = 40 מ׳
• AB = 50 מ׳

רוצים למצוא: זווית C

שלב 2: בדיקה מהירה 📊

C (Observer)A 🌳B 🌳304050?°

שלב 3: זיהוי שלשה פיתגורית 🎯

בדיקה:

30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50²

💡 זו שלשה פיתגורית (3-4-5 כפול 10)!

לכן המשולש ישר-זווית
והזווית הישרה מול הצלע הארוכה (50).

זווית C = 90°

תשובה: 90°

שאלה 33
2.50 נק'

📡 אנטנה על גג:
ממרחק 50 מ׳ מבניין, זווית ההגבהה לגג היא 40°.
זווית ההגבהה לראש האנטנה שעל הגג היא 50°.

מהו גובה האנטנה?

💡 נתון: tan(40°)≈0.839, tan(50°)≈1.192

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

📡 שני גבהים:

• h₁ = גובה הבניין (עד הגג)
• h₂ = גובה עד ראש האנטנה
• גובה האנטנה = h₂ - h₁

שלב 2: שרטוט 📊

Observer50 m40°50°h₁📡?

שלב 3: חישוב 🎯

גובה הבניין:
h₁ = 50 × tan(40°) = 50 × 0.839 = 41.95 מ׳

גובה עד האנטנה:
h₂ = 50 × tan(50°) = 50 × 1.192 = 59.6 מ׳

גובה האנטנה:
אנטנה = h₂ - h₁ = 59.6 - 41.95

אנטנה = 17.65 מטר

תשובה: 17.65 מטר

שאלה 34
2.50 נק'

⭕ שטח משולש:
במשולש ABC: a = 8, b = 10, c = 12.
רדיוס המעגל החוסם R = 6.25.

מהו שטח המשולש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת השטח 🔍

💡 נוסחה עם רדיוס מעגל חוסם:

S = (a · b · c) / (4R)

זו נוסחה שימושית כשיודעים את הצלעות ואת R!

שלב 2: המחשה 📊

R=6.25c=12b=10a=8S = abc/(4R)

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

S = (a · b · c) / (4R)

S = (8 × 10 × 12) / (4 × 6.25)

S = 960 / 25

S = 38.4

תשובה: 38.4

שאלה 35
2.50 נק'

🌅 זווית שקיעה:
מראש צוק בגובה 100 מ׳ מעל הים, רואים ספינה.
זווית ההשקפה (כלפי מטה) לספינה היא 15°.

מה המרחק האופקי מהצוק לספינה?

💡 נתון: tan(15°) ≈ 0.268

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת זווית השקפה 🔍

🌅 זווית השקפה (Depression angle):

זווית כלפי מטה מקו האופק!

• גובה הצוק = 100 מ׳
• זווית השקפה = 15°
• מרחק אופקי = ?

שלב 2: שרטוט 📊

🌊 Sea 🌊ObserverHorizon🚢15°100md = ?

שלב 3: חישוב 🎯

במשולש ישר-זווית:

tan(15°) = גובה / מרחק אופקי

tan(15°) = 100 / d

d = 100 / tan(15°)

d = 100 / 0.268

d ≈ 373 מטר

תשובה: 373 מטר

שאלה 36
2.50 נק'

🏞️ רוחב אגם:
כדי למדוד רוחב אגם, מודד עומד בנקודה A בגדה.
הוא מסמן נקודה B בגדה השנייה ונקודה C במרחק 200 מ׳ לאורך הגדה שלו.
זווית BAC = 85°, זווית BCA = 62°.

מהו רוחב האגם (AB)?

💡 נתון: sin(33°)≈0.545, sin(62°)≈0.883, sin(85°)≈0.996

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המשולש 🔍

🏞️ המשולש ABC:

• AC = 200 מ׳ (לאורך הגדה)
• זווית A = 85°
• זווית C = 62°
• זווית B = 180° - 85° - 62° = 33°

רוצים למצוא: AB (רוחב האגם)

שלב 2: שרטוט 📊

🏞️ LakeACB200 m85°62°33°AB=?

שלב 3: משפט הסינוסים 🎯

משפט הסינוסים:

AB/sin(C) = AC/sin(B)

AB/sin(62°) = 200/sin(33°)

AB = 200 × sin(62°) / sin(33°)

AB = 200 × 0.883 / 0.545

AB = 324.3 מטר

תשובה: 324.3 מטר

שאלה 37
2.50 נק'

✈️ מטוס נוחת:
מטוס מתחיל לרדת לנחיתה מגובה 3,000 מ׳.
זווית הירידה היא 5° ביחס לקרקע.

מה המרחק האופקי שהמטוס יעבור עד הנחיתה?

💡 נתון: tan(5°) ≈ 0.0875

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

✈️ משולש ישר-זווית:

• גובה = 3,000 מ׳ (ניצב אנכי)
• זווית ירידה = 5°
• מרחק אופקי = ? (ניצב אופקי)

שלב 2: שרטוט 📊

Ground (runway)✈️3000md = ?5°

שלב 3: חישוב 🎯

במשולש ישר-זווית:

tan(5°) = גובה / מרחק אופקי

tan(5°) = 3000 / d

d = 3000 / tan(5°)

d = 3000 / 0.0875

d = 34,286 מטר

💡 כלומר כ-34.3 ק"מ!

תשובה: 34,286 מטר

שאלה 38
2.50 נק'

⬡ משושה משוכלל:
משושה משוכלל חסום במעגל עם רדיוס R = 10.

מהו אורך צלע המשושה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונה מיוחדת! 🔍

⬡ תכונה מדהימה של משושה משוכלל:

צלע המשושה שווה בדיוק לרדיוס המעגל החוסם!

צלע = R

שלב 2: הסבר 📊

RsideCentral angle = 60°Equilateral triangle → side = R

שלב 3: הוכחה 🎯

למה?

• זווית מרכזית = 360°/6 = 60°
• המשולש שנוצר (מרכז + 2 קודקודים) הוא שווה-שוקיים
• שתי שוקיים = R, זווית ביניהן = 60°
• זוויות הבסיס = (180°-60°)/2 = 60° כל אחת
• לכן המשולש שווה-צלעות!

מסקנה: צלע = R = 10

תשובה: 10

שאלה 39
2.50 נק'

🏗️ שני מגדלים:
שני מגדלים עומדים במרחק 100 מ׳ זה מזה.
מראש המגדל הנמוך (40 מ׳), זווית ההגבהה לראש המגדל הגבוה היא 30°.

מהו גובה המגדל הגבוה?

💡 נתון: tan(30°) ≈ 0.577

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

🏗️ הנתונים:

• מרחק בין המגדלים = 100 מ׳
• גובה מגדל נמוך = 40 מ׳
• זווית הגבהה מראש הנמוך לראש הגבוה = 30°

רוצים למצוא: גובה המגדל הגבוה

שלב 2: שרטוט 📊

40mh=?30°100 mΔh

שלב 3: חישוב 🎯

שלב 1: הפרש הגבהים

tan(30°) = Δh / 100

Δh = 100 × tan(30°)
Δh = 100 × 0.577 = 57.7 מ׳

שלב 2: גובה המגדל הגבוה

H = גובה נמוך + Δh
H = 40 + 57.7
H = 97.7 מטר

תשובה: 97.7 מטר

שאלה 40
2.50 נק'

🎯 שאלת סיכום:
במשולש ABC: a = 14, b = 10, זווית C = 60°.

מצא את שטח המשולש ואת רדיוס המעגל החוסם.

💡 נתון: sin(60°)≈0.866, cos(60°)=0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שטח המשולש 🔍

נוסחת שטח עם סינוס:

S = ½ · a · b · sin(C)

S = ½ · 14 · 10 · sin(60°)

S = ½ · 140 · 0.866 = 60.62

שלב 2: מציאת צלע c (קוסינוסים) 📊

Finding side c using Law of Cosinesc² = a² + b² - 2ab·cos(C) = 196 + 100 - 140 = 156c = √156 ≈ 12.49

שלב 3: רדיוס מעגל חוסם 🎯

שיטה 1: מנוסחת השטח

S = abc/(4R)

R = abc/(4S)

R = (14 × 10 × 12.49)/(4 × 60.62)

R = 1748.6/242.48 ≈ 7.21

שיטה 2: משפט הסינוסים

c/sin(C) = 2R

R = c/(2·sin(60°))

R = 12.49/(2 × 0.866) ≈ 7.21

S ≈ 60.62, R ≈ 7.51

תשובה: S = 60.62, R ≈ 7.51

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 40 הושלמו