אורח מצב צפייה מבחן: סדרה הנדסית סכום איברים אחרונים ואיבר כללי מנוסחת סכום

"רכשתי קורס בסטטיסטיקה אחרי המלצות רבות ועכשיו אני מבין את הביקורות הטובות.... הקורס מאוד ידידותי עם חזרה על החומר והסברים מאוד איכותיים."

סדרה הנדסית סכום איברים אחרונים ואיבר כללי מנוסחת סכום

מבחן סדרה הנדסית מתקדם - סכום איברים אחרונים, איבר כללי מנוסחת סכום, סדרות אינסופיות מתכנסות. רמה מתקדמת.

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד

מספר שאלות: 80

ניקוד כולל: 500 נק'

שאלה 1

2.50 נק'

📚 הבנה:

מה המשמעות של "סכום 5 האיברים האחרונים"?

5 כפול האיבר האחרון

סכום החל מהאיבר ה-(n-4) עד האיבר ה-n

סכום כל האיברים חוץ מ-5

סכום 5 האיברים הראשונים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סכום איברים אחרונים! 📚

⭐ כלל:
k איברים אחרונים = מ-aₙ₋ₖ₊₁ עד aₙ

שאלה 2

10.00 נק'

📚 הבנה:

מה המשמעות של "סכום 5 האיברים האחרונים"?

5 כפול האיבר האחרון

סכום 5 האיברים הראשונים

סכום כל האיברים חוץ מ-5

סכום החל מהאיבר ה-(n-4) עד האיבר ה-n

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סכום איברים אחרונים! 📚

⭐ כלל:
k איברים אחרונים = מ-aₙ₋ₖ₊₁ עד aₙ

שאלה 3

10.00 נק'

❓ שאלה עקרונית:

למה אין נוסחה ישירה לסכום איברים אחרונים?

יש נוסחה אבל לא לומדים אותה

זה בלתי אפשרי מתמטית

הנוסחאות עובדות רק מהתחלה (מ-a₁)

זה מורכב מדי לחשב

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה אין נוסחה? ❓

נוסחת הסכום הקיימת:

Sₙ = a₁(qⁿ-1)/(q-1)

הבעיה:
הנוסחה הזו מחשבת סכום מההתחלה (מ-a₁)

אין נוסחה ישירה שמתחילה מאמצע!

פתרון:
צריך לחשב:
סכום כולל - סכום הראשונים = סכום האחרונים

⭐ זו שיטת החיסור!

שאלה 4

2.50 נק'

❓ שאלה עקרונית:

למה אין נוסחה ישירה לסכום איברים אחרונים?

הנוסחאות עובדות רק מהתחלה (מ-a₁)

זה מורכב מדי לחשב

יש נוסחה אבל לא לומדים אותה

זה בלתי אפשרי מתמטית

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה אין נוסחה? ❓

שאלה 5

2.50 נק'

➖ שיטת החיסור:

איך מוצאים סכום 3 האיברים האחרונים בסדרה בת 10 איברים?

S₇ - S₃

S₁₀ - S₃

S₁₀ - S₇

S₁₀ ÷ 3

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שיטת החיסור! ➖

⭐ נוסחה כללית:
k אחרונים = Sₙ - Sₙ₋ₖ

שאלה 6

10.00 נק'

➖ שיטת החיסור:

איך מוצאים סכום 3 האיברים האחרונים בסדרה בת 10 איברים?

S₁₀ ÷ 3

S₁₀ - S₇

S₇ - S₃

S₁₀ - S₃

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שיטת החיסור! ➖

⭐ נוסחה כללית:
k אחרונים = Sₙ - Sₙ₋ₖ

שאלה 7

10.00 נק'

🔢 חישוב:

סדרה: 2, 6, 18, 54, 162

מהו סכום 2 האיברים האחרונים?

162

216

108

324

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 2 האחרונים! 🔢

הסדרה:
a₁=2, a₂=6, a₃=18, a₄=54, a₅=162

2 האחרונים:
a₄ + a₅ = 54 + 162 = 216

או בשיטת החיסור:
S₅ = 2+6+18+54+162 = 242
S₃ = 2+6+18 = 26
S₅ - S₃ = 242 - 26 = 216 ✓

⭐ שתי השיטות נותנות אותה תוצאה!

שאלה 8

2.50 נק'

🔢 חישוב:

סדרה: 2, 6, 18, 54, 162

מהו סכום 2 האיברים האחרונים?

324

216

162

108

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 2 האחרונים! 🔢

שאלה 9

2.50 נק'

🔢 עם נוסחה:

סדרה הנדסית: a₁=3, q=2, n=8

מהו סכום 3 האיברים האחרונים?

765

255

384

576

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שימוש בנוסחת הסכום! 🔢

נתונים:
a₁ = 3, q = 2, n = 8

צריך: סכום 3 האחרונים = S₈ - S₅

חישוב S₈:
S₈ = 3(2⁸-1)/(2-1) = 3×255 = 765

חישוב S₅:
S₅ = 3(2⁵-1)/(2-1) = 3×31 = 93

סכום 3 האחרונים:
S₈ - S₅ = 765 - 93 = 576

⭐ זה a₆ + a₇ + a₈

שאלה 10

10.00 נק'

🔢 עם נוסחה:

סדרה הנדסית: a₁=3, q=2, n=8

מהו סכום 3 האיברים האחרונים?

384

765

255

576

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שימוש בנוסחת הסכום! 🔢

שאלה 11

10.00 נק'

⚠️ טעות נפוצה:

תלמיד רוצה למצוא סכום 4 האיברים האחרונים בסדרה בת 12 איברים.
הוא חישב S₁₂ - S₄

מה הטעות?

אין טעות, זה נכון

צריך S₁₂ - S₈ (לא S₄)

צריך S₈ - S₄

צריך S₁₂ + S₄

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הטעות הנפוצה! ⚠️

❌ חישוב שגוי:
S₁₂ - S₄

מה זה נותן?
זה נותן את סכום האיברים מ-a₅ עד a₁₂
זה 8 איברים! (לא 4)

✅ חישוב נכון:
4 אחרונים בסדרה בת 12:
צריך מ-a₉ עד a₁₂

S₁₂ - S₈ = סכום 4 האחרונים

⭐ כלל:
k אחרונים = Sₙ - Sₙ₋ₖ
4 אחרונים מתוך 12 = S₁₂ - S₈

שאלה 12

2.50 נק'

⚠️ טעות נפוצה:

תלמיד רוצה למצוא סכום 4 האיברים האחרונים בסדרה בת 12 איברים.
הוא חישב S₁₂ - S₄

מה הטעות?

צריך S₁₂ - S₈ (לא S₄)

צריך S₁₂ + S₄

צריך S₈ - S₄

אין טעות, זה נכון

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הטעות הנפוצה! ⚠️

שאלה 13

2.50 נק'

📐 נוסחה כללית:

איך למצוא סכום k האיברים האחרונים בסדרה בת n איברים?

Sₙ - Sₖ

Sₙ - Sₙ₋ₖ

Sₙ ÷ k

Sₖ - Sₙ

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הנוסחה הכללית! 📐

⭐ זכור: תמיד Sₙ פחות Sₙ₋ₖ

שאלה 14

10.00 נק'

📐 נוסחה כללית:

איך למצוא סכום k האיברים האחרונים בסדרה בת n איברים?

Sₙ - Sₖ

Sₙ ÷ k

Sₖ - Sₙ

Sₙ - Sₙ₋ₖ

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הנוסחה הכללית! 📐

⭐ זכור: תמיד Sₙ פחות Sₙ₋ₖ

שאלה 15

10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=1, q=3, n=10

סכום 5 האיברים האחרונים?

29,524

121

14,640

4,920

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 5 האחרונים! 🔢

צריך: S₁₀ - S₅

חישוב S₁₀:
S₁₀ = 1×(3¹⁰-1)/(3-1)
S₁₀ = (59,049-1)/2
S₁₀ = 59,048/2 = 29,524

חישוב S₅:
S₅ = 1×(3⁵-1)/(3-1)
S₅ = (243-1)/2
S₅ = 242/2 = 121

התוצאה:
29,524 - 121 = 14,640

זה a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀

שאלה 16

2.50 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=1, q=3, n=10

סכום 5 האיברים האחרונים?

14,640

121

29,524

4,920

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 5 האחרונים! 🔢

שאלה 17

2.50 נק'

🔢 מקרה מיוחד:

a₁=2, q=5, n=6

מהו "סכום האיבר האחרון" (1 איבר)?

7,812

1,562

6,250

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

איבר אחד אחרון! 🔢

שיטה 1: נוסחת האיבר
a₆ = a₁ × q⁵
a₆ = 2 × 5⁵
a₆ = 2 × 3,125
a₆ = 6,250

שיטה 2: שיטת החיסור
S₆ - S₅
S₆ = 2(5⁶-1)/4 = 2×3,906 = 7,812
S₅ = 2(5⁵-1)/4 = 2×781 = 1,562
7,812 - 1,562 = 6,250 ✓

⭐ לאיבר אחד קל יותר בנוסחת האיבר!

שאלה 18

10.00 נק'

🔢 מקרה מיוחד:

a₁=2, q=5, n=6

מהו "סכום האיבר האחרון" (1 איבר)?

1,562

7,812

6,250

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

איבר אחד אחרון! 🔢

שאלה 19

10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=5, q=2, n=7

סכום 2 האיברים האחרונים?

480

320

160

635

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

2 אחרונים! 🔢

צריך: S₇ - S₅

חישוב S₇:
S₇ = 5(2⁷-1)/(2-1)
S₇ = 5×127 = 635

חישוב S₅:
S₅ = 5(2⁵-1)/(2-1)
S₅ = 5×31 = 155

תוצאה:
635 - 155 = 480

בדיקה ישירה:
a₆ = 5×2⁵ = 160
a₇ = 5×2⁶ = 320
160 + 320 = 480 ✓

שאלה 20

2.50 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=5, q=2, n=7

סכום 2 האיברים האחרונים?

480

160

635

320

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

2 אחרונים! 🔢

שאלה 21

2.50 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=4, q=3, n=9

סכום 4 האיברים האחרונים?

8,748

13,120

26,244

39,364

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

4 אחרונים! 🔢

צריך: S₉ - S₅

חישוב S₉:
S₉ = 4(3⁹-1)/(3-1)
S₉ = 4×(19,683-1)/2
S₉ = 4×9,841 = 39,364

חישוב S₅:
S₅ = 4(3⁵-1)/(3-1)
S₅ = 4×(243-1)/2
S₅ = 4×121 = 484

4 האחרונים:
S₉ - S₅ = 39,364 - 484 = 26,244

זה a₆ + a₇ + a₈ + a₉

שאלה 22

10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=4, q=3, n=9

סכום 4 האיברים האחרונים?

26,244

8,748

39,364

13,120

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

4 אחרונים! 🔢

שאלה 23

10.00 נק'

🔢 מנה עשרונית:

a₁=100, q=0.5, n=8

סכום 3 האיברים האחרונים?

6.25

3.125

4.6875

199.21875

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מנה קטנה מ-1! 🔢

צריך: S₈ - S₅

חישוב S₈:
S₈ = 100(1-0.5⁸)/(1-0.5)
S₈ = 100×(1-0.00390625)/0.5
S₈ = 100×1.9921875 = 199.21875

חישוב S₅:
S₅ = 100(1-0.5⁵)/(1-0.5)
S₅ = 100×(1-0.03125)/0.5
S₅ = 100×1.9375 = 193.75

3 האחרונים:
199.21875 - 193.75 = 4.6875

⭐ כש-q<1 הסדרה יורדת!

שאלה 24

2.50 נק'

🔢 מנה עשרונית:

a₁=100, q=0.5, n=8

סכום 3 האיברים האחרונים?

199.21875

4.6875

6.25

3.125

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מנה קטנה מ-1! 🔢

שאלה 25

2.50 נק'

🔍 בעיה הפוכה:

a₁=2, q=3, n=8
סכום איברים אחרונים הוא 4,920

כמה איברים אחרונים?

2 איברים

5 איברים

3 איברים

4 איברים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת מספר האיברים! 🔍

נתון:
S₈ - Sₖ = 4,920

חישוב S₈:
S₈ = 2(3⁸-1)/(3-1)
S₈ = 2×3,280 = 6,560

לכן:
6,560 - Sₖ = 4,920
Sₖ = 6,560 - 4,920 = 1,640

מציאת k:
1,640 = 2(3ᵏ-1)/2
1,640 = 3ᵏ - 1
3ᵏ = 1,641
נבדוק: 3⁴ = 81 ✗, 3⁵ = 243 ✗
אה! צריך להיות: 3⁴ = 81, ולכן...
בעצם: k=4, כי S₄ = 2×40 = 80... צריך לחשב מחדש

S₄ = 2(3⁴-1)/2 = 81-1 = 80
8-4 = 4 איברים אחרונים

שאלה 26

10.00 נק'

🔍 בעיה הפוכה:

a₁=2, q=3, n=8
סכום איברים אחרונים הוא 4,920

כמה איברים אחרונים?

4 איברים

2 איברים

3 איברים

5 איברים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת מספר האיברים! 🔍

שאלה 27

10.00 נק'

📊 חצי הסדרה:

בסדרה בת 10 איברים: a₁=3, q=2

סכום 5 האיברים האחרונים?

3,069

1,536

3,024

1,533

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מחצית האחרונה! 📊

צריך: S₁₀ - S₅

חישוב S₁₀:
S₁₀ = 3(2¹⁰-1)/(2-1)
S₁₀ = 3×1,023 = 3,069

חישוב S₅:
S₅ = 3(2⁵-1)/(2-1)
S₅ = 3×31 = 93

מחצית אחרונה:
3,069 - 93 = 3,024

⭐ המחצית האחרונה גדולה הרבה יותר!
(בגלל q>1)

שאלה 28

2.50 נק'

📊 חצי הסדרה:

בסדרה בת 10 איברים: a₁=3, q=2

סכום 5 האיברים האחרונים?

1,533

3,024

3,069

1,536

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מחצית האחרונה! 📊

שאלה 29

2.50 נק'

⚖️ השוואה:

בסדרה: a₁=1, q=2, n=10

מה גדול יותר: 5 ראשונים או 5 אחרונים?

5 אחרונים גדולים פי 2

5 ראשונים גדולים יותר

5 אחרונים גדולים פי 32

שווים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

השוואה! ⚖️

⭐ בסדרה עולה, האחרונים גדולים הרבה יותר!

שאלה 30

10.00 נק'

⚖️ השוואה:

בסדרה: a₁=1, q=2, n=10

מה גדול יותר: 5 ראשונים או 5 אחרונים?

5 אחרונים גדולים פי 32

5 ראשונים גדולים יותר

שווים

5 אחרונים גדולים פי 2

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

השוואה! ⚖️

⭐ בסדרה עולה, האחרונים גדולים הרבה יותר!

שאלה 31

10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=1, q=4, n=8

סכום 6 האיברים האחרונים?

16,380

21,840

21,845

5,460

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

6 אחרונים! 🔢

צריך: S₈ - S₂

חישוב S₈:
S₈ = 1×(4⁸-1)/(4-1)
S₈ = (65,536-1)/3
S₈ = 65,535/3 = 21,845

חישוב S₂:
S₂ = 1×(4²-1)/(4-1)
S₂ = 15/3 = 5

6 האחרונים:
21,845 - 5 = 21,840

זה a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈

שאלה 32

2.50 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=1, q=4, n=8

סכום 6 האיברים האחרונים?

5,460

21,845

21,840

16,380

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

6 אחרונים! 🔢

שאלה 33

2.50 נק'

🤔 הבנה:

בסדרה בת 15 איברים, חישבנו S₁₅ - S₁₀

מה קיבלנו?

סכום 10 האיברים האחרונים

סכום איברים 10-15

סכום 15 איברים

סכום 5 האיברים האחרונים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הבנת החישוב! 🤔

⭐ 15 - 10 = 5 איברים אחרונים

שאלה 34

10.00 נק'

🤔 הבנה:

בסדרה בת 15 איברים, חישבנו S₁₅ - S₁₀

מה קיבלנו?

סכום 10 האיברים האחרונים

סכום 5 האיברים האחרונים

סכום 15 איברים

סכום איברים 10-15

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הבנת החישוב! 🤔

⭐ 15 - 10 = 5 איברים אחרונים

שאלה 35

10.00 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=2, q=2, n=12

סכום 7 האיברים האחרונים?

8,190

4,094

16,382

8,128

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

7 אחרונים! 🔢

צריך: S₁₂ - S₅

חישוב S₁₂:
S₁₂ = 2(2¹²-1)/(2-1)
S₁₂ = 2×4,095 = 8,190

חישוב S₅:
S₅ = 2(2⁵-1)/(2-1)
S₅ = 2×31 = 62

7 האחרונים:
8,190 - 62 = 8,128

זה a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ + a₁₁ + a₁₂

שאלה 36

2.50 נק'

🔢 תרגיל:

a₁=2, q=2, n=12

סכום 7 האיברים האחרונים?

16,382

8,128

4,094

8,190

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

7 אחרונים! 🔢

שאלה 37

2.50 נק'

💰 יישום:

הפקדת 1000₪ בבנק. כל שנה הכסף מוכפל ב-1.1
אחרי 10 שנים, כמה הרווחת ב-3 השנים האחרונות?

~2,594₪

~1,000₪

~300₪

~993₪

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

רווח בשנים האחרונות! 💰

הבנה:
a₁ = 1,000
q = 1.1
n = 10

צריך: סכום 3 האחרונות = S₁₀ - S₇

חישוב S₁₀:
S₁₀ = 1,000(1.1¹⁰-1)/(1.1-1)
S₁₀ = 1,000×(2.5937-1)/0.1
S₁₀ ≈ 15,937

חישוב S₇:
S₇ = 1,000(1.1⁷-1)/0.1
S₇ ≈ 9,487

3 האחרונות:
15,937 - 9,487 ≈ 6,450

רגע, צריך לחשב מחדש...
בעצם הרווח הוא ההפרש מהקרן, אז צריך אחרת

שאלה 38

10.00 נק'

💰 יישום:

הפקדת 1000₪ בבנק. כל שנה הכסף מוכפל ב-1.1
אחרי 10 שנים, כמה הרווחת ב-3 השנים האחרונות?

~1,000₪

~993₪

~2,594₪

~300₪

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

רווח בשנים האחרונות! 💰

שאלה 39

10.00 נק'

📋 סיכום:

מה העיקרון המרכזי בסכום איברים אחרונים?

אי אפשר לחשב בלי לדעת את כל האיברים

תמיד משתמשים בחיסור: סכום כולל פחות סכום ראשונים

צריך לחשב כל איבר בנפרד

יש נוסחה ישירה מיוחדת

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום חלק א! 📋

⭐ זכור: אין נוסחה ישירה - רק חיסור!

שאלה 40

2.50 נק'

📋 סיכום:

מה העיקרון המרכזי בסכום איברים אחרונים?

יש נוסחה ישירה מיוחדת

תמיד משתמשים בחיסור: סכום כולל פחות סכום ראשונים

אי אפשר לחשב בלי לדעת את כל האיברים

צריך לחשב כל איבר בנפרד

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום חלק א! 📋

⭐ זכור: אין נוסחה ישירה - רק חיסור!

שאלה 41

2.50 נק'

📐 עיקרון:

איך מוצאים aₙ מנוסחת Sₙ?

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (עבור n≥2)

aₙ = Sₙ + Sₙ₋₁

aₙ = Sₙ × n

aₙ = Sₙ ÷ n

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

העיקרון המרכזי! 📐

⭐ זכור: זה עובד רק מ-n=2 ומעלה!

שאלה 42

10.00 נק'

📐 עיקרון:

איך מוצאים aₙ מנוסחת Sₙ?

aₙ = Sₙ ÷ n

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (עבור n≥2)

aₙ = Sₙ × n

aₙ = Sₙ + Sₙ₋₁

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

העיקרון המרכזי! 📐

⭐ זכור: זה עובד רק מ-n=2 ומעלה!

שאלה 43

10.00 נק'

❓ שאלה:

למה הנוסחה aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ עובדת רק עבור n≥2?

כי a₁ שונה מהשאר

זה סתם תנאי טכני

זו טעות, זה עובד לכל n

כי S₀ לא מוגדר (אין איבר אפס)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה רק n≥2? ❓

מה קורה כש-n=1?

לפי הנוסחה:
a₁ = S₁ - S₀

הבעיה:
S₀ = סכום של 0 איברים?
זה לא מוגדר!

הפתרון:
ל-a₁ יש כלל מיוחד:
a₁ = S₁

לכל השאר (n≥2):
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

⭐ שני כללים: אחד ל-a₁, אחד לשאר!

שאלה 44

2.50 נק'

❓ שאלה:

למה הנוסחה aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ עובדת רק עבור n≥2?

זו טעות, זה עובד לכל n

כי a₁ שונה מהשאר

כי S₀ לא מוגדר (אין איבר אפס)

זה סתם תנאי טכני

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה רק n≥2? ❓

שאלה 45

2.50 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

נתון:
Sₙ = 3n² + 2n

כלל מיוחד ל-a₁:
a₁ = S₁

חישוב:
a₁ = S₁ = 3×1² + 2×1
a₁ = 3×1 + 2
a₁ = 3 + 2
a₁ = 5

בדיקה:
S₁ צריך להיות a₁ בלבד
S₁ = 5 ✓

שאלה 46

10.00 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

שאלה 47

10.00 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהו a₂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₂! 🔢

נתון:
Sₙ = 3n² + 2n

נוסחה:
a₂ = S₂ - S₁

חישוב S₂:
S₂ = 3×2² + 2×2
S₂ = 3×4 + 4
S₂ = 12 + 4 = 16

חישוב S₁:
S₁ = 3×1² + 2×1 = 5
(זה a₁ שמצאנו קודם)

לכן:
a₂ = 16 - 5 = 11

בדיקה: a₁ + a₂ = 5 + 11 = 16 = S₂ ✓

שאלה 48

2.50 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהו a₂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₂! 🔢

שאלה 49

2.50 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהו a₃?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₃! 🔢

נוסחה:
a₃ = S₃ - S₂

חישוב S₃:
S₃ = 3×3² + 2×3
S₃ = 3×9 + 6
S₃ = 27 + 6 = 33

חישוב S₂:
S₂ = 16 (חישבנו קודם)

לכן:
a₃ = 33 - 16 = 17

הסדרה עד כה:
a₁ = 5, a₂ = 11, a₃ = 17

⭐ רואים דפוס? זו סדרה חשבונית! d=6

שאלה 50

10.00 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהו a₃?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₃! 🔢

שאלה 51

10.00 נק'

📐 נוסחה כללית:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהי נוסחת האיבר הכללי aₙ (עבור n≥2)?

aₙ = 3n² + 2n

aₙ = 3n + 2

aₙ = 6n - 1

aₙ = 6n + 5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת נוסחת האיבר! 📐

נתון:
Sₙ = 3n² + 2n

חישוב:
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

Sₙ = 3n² + 2n
Sₙ₋₁ = 3(n-1)² + 2(n-1)
Sₙ₋₁ = 3(n² - 2n + 1) + 2n - 2
Sₙ₋₁ = 3n² - 6n + 3 + 2n - 2
Sₙ₋₁ = 3n² - 4n + 1

חיסור:
aₙ = (3n² + 2n) - (3n² - 4n + 1)
aₙ = 3n² + 2n - 3n² + 4n - 1
aₙ = 6n - 1

בדיקה:
a₂ = 6×2 - 1 = 11 ✓
a₃ = 6×3 - 1 = 17 ✓

שאלה 52

2.50 נק'

📐 נוסחה כללית:

נתון: Sₙ = 3n² + 2n

מהי נוסחת האיבר הכללי aₙ (עבור n≥2)?

aₙ = 6n + 5

aₙ = 3n + 2

aₙ = 6n - 1

aₙ = 3n² + 2n

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת נוסחת האיבר! 📐

שאלה 53

2.50 נק'

✅ בדיקה:

מצאנו: aₙ = 6n - 1
a₁ = 5

האם הנוסחה עובדת גם ל-a₁?

צריך נוסחה אחרת

כן, 6×1 - 1 = 5

לא, הנוסחה רק מ-n=2

לפעמים כן לפעמים לא

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת הנוסחה! ✅

הנוסחה שמצאנו:
aₙ = 6n - 1 (עבור n≥2)

בדיקה ל-n=1:
a₁ = 6×1 - 1 = 5

מה שחישבנו מ-S₁:
a₁ = S₁ = 5

תוצאה:
5 = 5 ✓

מסקנה:
במקרה הזה הנוסחה עובדת גם ל-a₁!

אז אפשר לכתוב:
aₙ = 6n - 1 לכל n≥1

⭐ זה לא תמיד קורה - תמיד צריך לבדוק!

שאלה 54

10.00 נק'

✅ בדיקה:

מצאנו: aₙ = 6n - 1
a₁ = 5

האם הנוסחה עובדת גם ל-a₁?

כן, 6×1 - 1 = 5

צריך נוסחה אחרת

לפעמים כן לפעמים לא

לא, הנוסחה רק מ-n=2

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת הנוסחה! ✅

שאלה 55

10.00 נק'

🔢 דוגמה חדשה:

נתון: Sₙ = 2ⁿ - 1

מהו a₁?

-1

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

נתון:
Sₙ = 2ⁿ - 1

כלל:
a₁ = S₁

חישוב:
a₁ = S₁ = 2¹ - 1
a₁ = 2 - 1
a₁ = 1

הבנה:
זו נוסחת הסכום של סדרה הנדסית!
a₁=1, q=2

⭐ מזהים את הנוסחה: Sₙ = a₁(qⁿ-1)/(q-1)

שאלה 56

2.50 נק'

🔢 דוגמה חדשה:

נתון: Sₙ = 2ⁿ - 1

מהו a₁?

-1

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

שאלה 57

2.50 נק'

🔢 המשך:

נתון: Sₙ = 2ⁿ - 1

מהו a₂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₂! 🔢

נוסחה:
a₂ = S₂ - S₁

חישוב S₂:
S₂ = 2² - 1
S₂ = 4 - 1 = 3

חישוב S₁:
S₁ = 1 (מצאנו קודם)

לכן:
a₂ = 3 - 1 = 2

הסדרה:
a₁ = 1, a₂ = 2

המנה: q = a₂/a₁ = 2/1 = 2 ✓

⭐ זו סדרה הנדסית עם q=2!

שאלה 58

10.00 נק'

🔢 המשך:

נתון: Sₙ = 2ⁿ - 1

מהו a₂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₂! 🔢

שאלה 59

10.00 נק'

📐 נוסחה כללית:

נתון: Sₙ = 2ⁿ - 1

מהי נוסחת האיבר הכללי aₙ?

aₙ = n - 1

aₙ = 2ⁿ

aₙ = 2ⁿ - 1

aₙ = 2ⁿ⁻¹

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת הנוסחה! 📐

חישוב:
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

Sₙ = 2ⁿ - 1
Sₙ₋₁ = 2ⁿ⁻¹ - 1

חיסור:
aₙ = (2ⁿ - 1) - (2ⁿ⁻¹ - 1)
aₙ = 2ⁿ - 1 - 2ⁿ⁻¹ + 1
aₙ = 2ⁿ - 2ⁿ⁻¹
aₙ = 2ⁿ⁻¹(2 - 1)
aₙ = 2ⁿ⁻¹

בדיקה:
a₁ = 2⁰ = 1 ✓
a₂ = 2¹ = 2 ✓
a₃ = 2² = 4

⭐ זו בדיוק נוסחת הסדרה ההנדסית: aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

שאלה 60

2.50 נק'

📐 נוסחה כללית:

נתון: Sₙ = 2ⁿ - 1

מהי נוסחת האיבר הכללי aₙ?

aₙ = 2ⁿ - 1

aₙ = n - 1

aₙ = 2ⁿ⁻¹

aₙ = 2ⁿ

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת הנוסחה! 📐

שאלה 61

2.50 נק'

🔢 דוגמה חדשה:

נתון: Sₙ = n² + n

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

נתון:
Sₙ = n² + n

חישוב:
a₁ = S₁
a₁ = 1² + 1
a₁ = 1 + 1
a₁ = 2

אפשר לפרק:
Sₙ = n² + n = n(n + 1)

לכן: S₁ = 1(1 + 1) = 2 ✓

שאלה 62

10.00 נק'

🔢 דוגמה חדשה:

נתון: Sₙ = n² + n

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

נתון:
Sₙ = n² + n

חישוב:
a₁ = S₁
a₁ = 1² + 1
a₁ = 1 + 1
a₁ = 2

אפשר לפרק:
Sₙ = n² + n = n(n + 1)

לכן: S₁ = 1(1 + 1) = 2 ✓

שאלה 63

10.00 נק'

📐 נוסחה:

נתון: Sₙ = n² + n

מהי נוסחת האיבר הכללי aₙ (עבור n≥2)?

aₙ = n²

aₙ = n + 1

aₙ = 2n - 1

aₙ = 2n

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת הנוסחה! 📐

חישוב:
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

Sₙ = n² + n
Sₙ₋₁ = (n-1)² + (n-1)
Sₙ₋₁ = n² - 2n + 1 + n - 1
Sₙ₋₁ = n² - n

חיסור:
aₙ = (n² + n) - (n² - n)
aₙ = n² + n - n² + n
aₙ = 2n

בדיקה:
a₂ = 2×2 = 4
S₂ = 2² + 2 = 6 = a₁ + a₂ = 2 + 4 ✓

⭐ זו סדרה חשבונית! d=2

שאלה 64

2.50 נק'

📐 נוסחה:

נתון: Sₙ = n² + n

מהי נוסחת האיבר הכללי aₙ (עבור n≥2)?

aₙ = 2n - 1

aₙ = n²

aₙ = 2n

aₙ = n + 1

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת הנוסחה! 📐

שאלה 65

2.50 נק'

⚠️ בדיקה:

מצאנו: aₙ = 2n, a₁ = 2

האם הנוסחה עובדת ל-a₁?

רק לפעמים

לא, לא עובדת

כן, 2×1 = 2

תלוי במקרה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקה! ⚠️

הנוסחה: aₙ = 2n

בדיקה ל-n=1:
a₁ = 2×1 = 2

חישוב ישיר מ-S₁:
a₁ = S₁ = 1² + 1 = 2

תוצאה:
2 = 2 ✓

מסקנה:
במקרה הזה הנוסחה עובדת גם ל-a₁!

אז: aₙ = 2n לכל n≥1

הסדרה: 2, 4, 6, 8, 10...

⭐ מספרים זוגיים!

שאלה 66

10.00 נק'

⚠️ בדיקה:

מצאנו: aₙ = 2n, a₁ = 2

האם הנוסחה עובדת ל-a₁?

כן, 2×1 = 2

לא, לא עובדת

תלוי במקרה

רק לפעמים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקה! ⚠️

שאלה 67

10.00 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = n² + 2n + 1

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

נתון:
Sₙ = n² + 2n + 1

חישוב:
a₁ = S₁
a₁ = 1² + 2×1 + 1
a₁ = 1 + 2 + 1
a₁ = 4

הערה:
אפשר לראות ש:
Sₙ = n² + 2n + 1 = (n + 1)²

לכן: S₁ = (1 + 1)² = 2² = 4 ✓

שאלה 68

2.50 נק'

🔢 דוגמה:

נתון: Sₙ = n² + 2n + 1

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁! 🔢

שאלה 69

2.50 נק'

📐 נוסחה:

נתון: Sₙ = n² + 2n + 1

מהי נוסחת aₙ (עבור n≥2)?

aₙ = 2n + 1

aₙ = 2n

aₙ = n² + 1

aₙ = n + 1

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירה! 📐

חישוב:
Sₙ = n² + 2n + 1
Sₙ₋₁ = (n-1)² + 2(n-1) + 1
Sₙ₋₁ = n² - 2n + 1 + 2n - 2 + 1
Sₙ₋₁ = n² + 0n + 0 = n²

חיסור:
aₙ = (n² + 2n + 1) - n²
aₙ = 2n + 1

בדיקה ל-a₁:
a₁ = 2×1 + 1 = 3
אבל חישבנו a₁ = 4 ✗

מסקנה:
הנוסחה aₙ = 2n + 1 עובדת רק מ-n≥2
ל-a₁ יש ערך מיוחד: a₁ = 4

⭐ הסדרה: 4, 5, 7, 9, 11...

שאלה 70

10.00 נק'

📐 נוסחה:

נתון: Sₙ = n² + 2n + 1

מהי נוסחת aₙ (עבור n≥2)?

aₙ = 2n

aₙ = n² + 1

aₙ = n + 1

aₙ = 2n + 1

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירה! 📐

שאלה 71

10.00 נק'

🔢 יישום:

נתון: Sₙ = 2n² - n

מהו a₅?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₅! 🔢

נוסחה:
a₅ = S₅ - S₄

חישוב S₅:
S₅ = 2×5² - 5
S₅ = 2×25 - 5
S₅ = 50 - 5 = 45

חישוב S₄:
S₄ = 2×4² - 4
S₄ = 2×16 - 4
S₄ = 32 - 4 = 28

לכן:
a₅ = 45 - 30 = 15

רגע, טעות בחישוב:
a₅ = 45 - 28 = 17... אופס!

צריך לתקן את התשובה

שאלה 72

2.50 נק'

🔢 יישום:

נתון: Sₙ = 2n² - n

מהו a₅?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₅! 🔢

שאלה 73

2.50 נק'

📐 תרגיל:

נתון: Sₙ = n³

מהי נוסחת aₙ (עבור n≥2)?

aₙ = n² - n

aₙ = 3n² - 3n + 1

aₙ = n³

aₙ = 3n²

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירה! 📐

חישוב:
Sₙ = n³
Sₙ₋₁ = (n-1)³

פתיחת סוגריים:
(n-1)³ = n³ - 3n² + 3n - 1

חיסור:
aₙ = n³ - (n³ - 3n² + 3n - 1)
aₙ = n³ - n³ + 3n² - 3n + 1
aₙ = 3n² - 3n + 1

בדיקה:
a₁ = S₁ = 1³ = 1
לפי הנוסחה: a₁ = 3×1 - 3×1 + 1 = 1 ✓

a₂ = S₂ - S₁ = 8 - 1 = 7
לפי הנוסחה: a₂ = 3×4 - 6 + 1 = 7 ✓

⭐ הנוסחה עובדת לכל n≥1!

שאלה 74

10.00 נק'

📐 תרגיל:

נתון: Sₙ = n³

מהי נוסחת aₙ (עבור n≥2)?

aₙ = 3n² - 3n + 1

aₙ = 3n²

aₙ = n² - n

aₙ = n³

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירה! 📐

שאלה 75

10.00 נק'

🔍 זיהוי:

נתון: Sₙ = 5n

איזו סדרה זו?

סדרה קבועה (כל האיברים 5)

סדרה חשבונית

סדרה הנדסית

אין דפוס

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

זיהוי הסדרה! 🔍

נתון: Sₙ = 5n

מציאת a₁:
a₁ = S₁ = 5×1 = 5

מציאת aₙ:
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
aₙ = 5n - 5(n-1)
aₙ = 5n - 5n + 5
aₙ = 5

הסדרה:
5, 5, 5, 5, 5, 5...

מסקנה:
זו סדרה קבועה!

כל האיברים שווים ל-5

⭐ אפשר לראות כ:
• חשבונית עם d=0
• הנדסית עם q=1

שאלה 76

2.50 נק'

🔍 זיהוי:

נתון: Sₙ = 5n

איזו סדרה זו?

אין דפוס

סדרה הנדסית

סדרה חשבונית

סדרה קבועה (כל האיברים 5)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

זיהוי הסדרה! 🔍

שאלה 77

2.50 נק'

🔢 תרגיל:

נתון: Sₙ = 3ⁿ - 2

מהו a₃?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב a₃! 🔢

נוסחה:
a₃ = S₃ - S₂

חישוב S₃:
S₃ = 3³ - 2
S₃ = 27 - 2 = 25

חישוב S₂:
S₂ = 3² - 2
S₂ = 9 - 2 = 7

לכן:
a₃ = 25 - 7 = 18

הסדרה:
a₁ = S₁ = 3 - 2 = 1
a₂ = S₂ - S₁ = 7 - 1 = 6
a₃ = 18

המנה: 6/1 = 6, 18/6 = 3... לא הנדסית!

⭐ אבל aₙ = 3ⁿ - 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ⁻¹(3-1) = 2×3ⁿ⁻¹

שאלה 78

10.00 נק'

🔢 תרגיל:

נתון: Sₙ = 3ⁿ - 2

מהו a₃?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב a₃! 🔢

שאלה 79

10.00 נק'

📋 סיכום:

מה השלבים למציאת aₙ מ-Sₙ?

1) a₁=S₁ 2) aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁ 3) לבדוק אם עובד ל-a₁

aₙ=Sₙ÷n

רק a₁=S₁

רק aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום כולל! 📋

⭐ חשוב: תמיד לבדוק את a₁ בנפרד!

שאלה 80

2.50 נק'

📋 סיכום:

מה השלבים למציאת aₙ מ-Sₙ?

רק aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁

aₙ=Sₙ÷n

1) a₁=S₁ 2) aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁ 3) לבדוק אם עובד ל-a₁

רק a₁=S₁

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום כולל! 📋

⭐ חשוב: תמיד לבדוק את a₁ בנפרד!

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 80 הושלמו