💡 הסבר מפורט:

הגדרה: אינטגרל לא מסוים 📐
אינטגרל לא מסוים הוא הפעולה ההפוכה לגזירה.
נקרא גם: פונקציה קדומה או אנטי-נגזרת.

הסימון המתמטי 📝
\(\int f(x)dx\)

קוראים: "אינטגרל f(x) לפי x"
או: "אינטגרל f מ-x"

המשמעות 💭
אם \(\int f(x)dx = F(x) + C\)
אז \(F'(x) = f(x)\)

כלומר: מחפשים פונקציה F שהנגזרת שלה היא f

דוגמה פשוטה 🔢
נניח f(x) = 2x

שאלה: איזו פונקציה הנגזרת שלה היא 2x?
תשובה: F(x) = x²

בדיקה: (x²)' = 2x ✓

לכן: \(\int 2x \, dx = x^2 + C\)

למה +C? 🤔
כי גם:
• (x² + 5)' = 2x
• (x² - 3)' = 2x
• (x² + 100)' = 2x

הקבוע נעלם בגזירה!
לכן בחזרה צריך להוסיף C (קבוע כללי)

דוגמה נוספת 📊
מצא: \(\int 3x^2 \, dx\)

חשיבה: איזו פונקציה הנגזרת שלה 3x²?

ננסה: F(x) = x³
בדיקה: (x³)' = 3x² ✓

תשובה: \(\int 3x^2 \, dx = x^3 + C\)

ההבדל בין אינטגרל מסוים ולא מסוים 📋

למה זה נקרא "אינטגרל"? 📚
המילה מגיעה מלטינית: "integer" = שלם
האינטגרל "משלים" את הגזירה
הוא הופך אותה לתהליך שלם (הלוך וחזור)

הקשר בין נגזרת לאינטגרל ⭐
\(\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right] = f(x)\)

כלומר: אם נגזור את האינטגרל, נחזור לפונקציה המקורית!

דוגמה מלאה 🎯
\(\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C\)

בדיקה:
\(\left(\frac{x^2}{2} + C\right)' = \frac{2x}{2} + 0 = x\) ✓

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "שטח": זה אינטגרל מסוים
• "קיצון": זה נמצא עם נגזרת
• "נגזרת": זו הפעולה ההפוכה!

💡 הסבר מפורט:

הסיבה ל-+C 🎯

העובדה המרכזית ⭐
נגזרת של קבוע = 0
\(\frac{d}{dx}[5] = 0\)
\(\frac{d}{dx}[-17] = 0\)
\(\frac{d}{dx}[C] = 0\)

משמעות 💭
כל הפונקציות הבאות בעלות אותה נגזרת:
• F₁(x) = x²
• F₂(x) = x² + 5
• F₃(x) = x² - 3
• F₄(x) = x² + 100

כולן: F'(x) = 2x

דוגמה מספרית 📊
בואו נבדוק:

פונקציה 1: F(x) = x² + 3
נגזרת: F'(x) = 2x + 0 = 2x ✓

פונקציה 2: G(x) = x² - 7
נגזרת: G'(x) = 2x + 0 = 2x ✓

פונקציה 3: H(x) = x²
נגזרת: H'(x) = 2x ✓

כולן בעלות אותה נגזרת!

ויזואליזציה גרפית 🎨
כל הפונקציות:
• y = x² + 5
• y = x² + 0
• y = x² - 3

הן פרבולות זהות, רק מוזזות אנכית!
כולן בעלות אותה צורה ואותה נגזרת

למה זה קורה? 🔍
כי הנגזרת מודדת שיפוע:
• הזזה אנכית לא משנה את השיפוע!
• לכן כל הפונקציות הללו שקולות מבחינת הנגזרת

המסקנה 📐
כאשר מחפשים פונקציה קדומה:
\(\int 2x \, dx = ?\)

התשובה היא לא רק x²
אלא משפחה שלמה של פונקציות:
\(\int 2x \, dx = x^2 + C\)

כאשר C יכול להיות כל מספר!

דוגמאות נוספות 🔢

דוגמה 1:
\(\int 3 \, dx = 3x + C\)

בדיקה:
• (3x + 5)' = 3 ✓
• (3x - 2)' = 3 ✓
• (3x + C)' = 3 ✓

דוגמה 2:
\(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C\)

בדיקה:
• \(\left(\frac{x^3}{3} + 10\right)' = x^2\) ✓
• \(\left(\frac{x^3}{3} - 8\right)' = x^2\) ✓

מתי C חשוב? ⚠️
באינטגרל לא מסוים: תמיד צריך +C
באינטגרל מסוים: ה-C מתבטל, לא צריך אותו

דוגמה למה C מתבטל באינטגרל מסוים 📍
\(\int_0^2 2x \, dx\)

= \([x^2 + C]_0^2\)
= \((2^2 + C) - (0^2 + C)\)
= \(4 + C - 0 - C\)
= 4

ה-C התבטל!

טעות נפוצה ❌
לשכוח את ה-+C באינטגרל לא מסוים!

שגוי: \(\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\) ✗
נכון: \(\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C\) ✓

סיכום 🎯
+C נדרש כי:
1. נגזרת של קבוע = 0
2. יש אינסוף פונקציות קדומות
3. כולן שוות זו לזו בהפרש קבוע
4. C מייצג את כל האפשרויות

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "כלל מתמטי": יש סיבה לוגית, לא סתם כלל
• "נכונה יותר": זו הסיבה האמיתית, לא רמת דיוק
• "שטח": C לא קשור לשטח

💡 הסבר מפורט:

המשפט היסודי של החשבון ⭐
\(\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right] = f(x)\)

במילים פשוטות 💭
אם נבצע אינטגרל ואז נגזרת,
נחזור לפונקציה שהתחלנו ממנה!

דוגמה 1 🔢
f(x) = 2x

שלב 1: אינטגרל
\(\int 2x \, dx = x^2 + C\)

שלב 2: נגזרת
\(\frac{d}{dx}[x^2 + C] = 2x + 0 = 2x\)

חזרנו ל-f(x) = 2x! ✓

דוגמה 2 📊
f(x) = 3x²

שלב 1: אינטגרל
\(\int 3x^2 \, dx = x^3 + C\)

שלב 2: נגזרת
\(\frac{d}{dx}[x^3 + C] = 3x^2 + 0 = 3x^2\)

חזרנו ל-f(x) = 3x²! ✓

למה זה קורה? 💭
כי אינטגרל ונגזרת הן פעולות הפוכות!

זה כמו:
• +5 ואז -5 → חוזרים למקור
• ×3 ואז ÷3 → חוזרים למקור
• אינטגרל ואז נגזרת → חוזרים למקור

מה קורה ל-C? 🤔
הקבוע C נעלם בנגזרת:
\(\frac{d}{dx}[C] = 0\)

לכן:
\(\frac{d}{dx}[F(x) + C] = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)\)

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "אפס": הנגזרת של אינטגרל לא אפס
• "הקבוע C": C נעלם, לא מופיע
• "אינטגרל כפול": זו לא פעולה כפולה

💡 הסבר מפורט:

כלל החזקה לאינטגרל ⭐
\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
(כאשר n ≠ -1)

שלבי הכלל 📐
1. העלה את החזקה ב-1: n → n+1
2. חלק בחזקה החדשה: ÷(n+1)
3. הוסף קבוע: +C

דוגמה 1: x² 🔢
\(\int x^2 \, dx\)

n = 2
n + 1 = 3

תשובה: \(\frac{x^3}{3} + C\)

בדיקה:
\(\left(\frac{x^3}{3}\right)' = \frac{3x^2}{3} = x^2\) ✓

דוגמה 2: x 🎯
\(\int x \, dx = \int x^1 \, dx\)

n = 1
n + 1 = 2

תשובה: \(\frac{x^2}{2} + C\)

בדיקה:
\(\left(\frac{x^2}{2}\right)' = \frac{2x}{2} = x\) ✓

למה זה עובד? 💭
כי זה הפוך מכלל החזקה בנגזרת!

בנגזרת:
\(\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\)
מורידים חזקה וכופלים במעריך

באינטגרל:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\)
מעלים חזקה ומחלקים במעריך

טבלת דוגמאות 📋

מקרה מיוחד: n = -1 ⚠️
הכלל לא עובד עבור n = -1!

למה? כי נקבל:
\(\frac{x^0}{0}\) = חלוקה באפס! ✗

במקרה זה:
\(\int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)

💡 הסבר:

אינטגרל של קבוע 📐
\(\int a \, dx = ax + C\)
(כאשר a הוא קבוע)

למה? 💭
כי הנגזרת של ax היא a!

בדיקה:
\(\frac{d}{dx}[5x + C] = 5 + 0 = 5\) ✓

דוגמאות 🔢
\(\int 3 \, dx = 3x + C\)
\(\int 7 \, dx = 7x + C\)
\(\int 1 \, dx = x + C\)

💡 הסבר:

כלל הסכום ⭐
אינטגרל של סכום = סכום של אינטגרלים

\(\int (f+g) dx = \int f \, dx + \int g \, dx\)

דוגמה:
\(\int (x^2 + 3x) dx\)
= \(\int x^2 dx + \int 3x dx\)
= \(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C\)

💡 הסבר:

כלל המקדם ⭐
אפשר להוציא קבוע מהאינטגרל

\(\int cf(x) dx = c\int f(x) dx\)

דוגמה:
\(\int 5x^2 dx = 5\int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5x^3}{3} + C\)

למה? כי נגזרת של c·F(x) = c·F'(x)

💡 הסבר:

פעולות הפוכות 🔄

נגזרת: F(x) → F'(x)
אינטגרל: f(x) → F(x)

כלומר:
\(\frac{d}{dx}[\int f(x)dx] = f(x)\)

הן מבטלות זו את זו!

דוגמה:
• אינטגרל: \(\int 2x dx = x^2 + C\)
• נגזרת: \((x^2 + C)' = 2x\)
חזרנו למקור!

💡 הסבר:

שני סוגי אינטגרלים 📊

לא מסוים: \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C\)
• תוצאה: פונקציה
• יש +C
• אין גבולות

מסוים: \(\int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}\)
• תוצאה: מספר
• אין +C
• יש גבולות

💡 הסבר:

שיטת הבדיקה ✓

אם \(\int f(x)dx = F(x) + C\)
אז F'(x) צריך להיות f(x)

דוגמה:
טענה: \(\int 3x^2 dx = x^3 + C\)

בדיקה:
\(\frac{d}{dx}[x^3 + C] = 3x^2 + 0 = 3x^2\) ✓

נכון!

דוגמה שגויה:
טענה: \(\int 2x dx = 2x^2 + C\)

בדיקה:
\((2x^2)' = 4x\) ✗

לא נכון! (הנכון: x² + C)

💡 הסבר:

אינטגרל של אפס 📐
\(\int 0 \, dx = C\)

למה? 💭
איזו פונקציה הנגזרת שלה היא 0?
תשובה: קבוע כלשהו!

כי (C)' = 0 ✓

דוגמאות:
• (5)' = 0
• (-3)' = 0
• (100)' = 0

כל קבוע הנגזרת שלו 0!

💡 הסבר:

פישוט לפני אינטגרציה 📐
2x + 3x = 5x

לכן:
\(\int (2x+3x) dx = \int 5x \, dx\)

= \(5 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{5x^2}{2} + C\)

או:
\(\int 2x dx + \int 3x dx\)
= \(x^2 + \frac{3x^2}{2} + C\)
= \(\frac{5x^2}{2} + C\)

💡 הסבר:

חזקה אפס 📐
x⁰ = 1

לכן:
\(\int x^0 dx = \int 1 \, dx = x + C\)

או לפי כלל החזקה:
n = 0
\(\frac{x^{0+1}}{0+1} = \frac{x^1}{1} = x + C\)

בדיקה:
(x + C)' = 1 = x⁰ ✓

💡 הסבר:

כלל החזקה 📐

בנגזרת:
\(\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\)

באינטגרל (הפוך):
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)

כללים אחרים:
• מכפלה: מסובך באינטגרל (אינטגרציה בחלקים)
• שרשרת: מסובך באינטגרל (החלפת משתנה)
• מנה: אין כלל פשוט

💡 הסבר:

ההבדל במטרה 🎯

אינטגרל לא מסוים:
מטרה: למצוא פונקציה קדומה
שאלה: "איזו פונקציה הנגזרת שלה f(x)?"
תשובה: F(x) + C

אינטגרל מסוים:
מטרה: למצוא שטח/ערך מספרי
שאלה: "מה השטח בין a ל-b?"
תשובה: מספר

דוגמה:
לא מסוים: \(\int x dx = \frac{x^2}{2} + C\)
מסוים: \(\int_0^2 x dx = 2\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
x = x¹
n = 1

שלב 2: כלל החזקה 📐
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)

n = 1
n + 1 = 2

שלב 3: חישוב ✂️
\(\int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C\)

שלב 4: בדיקה ✓
\(\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2}{2} + C\right]\)
= \(\frac{2x}{2} + 0\)
= x ✓

תשובה: \(\frac{x^2}{2} + C\)

💡 הסבר:

כלל החזקה 📐
n = 2
n + 1 = 3

\(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C\)

בדיקה:
\(\left(\frac{x^3}{3}\right)' = \frac{3x^2}{3} = x^2\) ✓

💡 הסבר:

כלל החזקה 📐
n = 3
n + 1 = 4

\(\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C\)

בדיקה:
\(\left(\frac{x^4}{4}\right)' = \frac{4x^3}{4} = x^3\) ✓

💡 הסבר:

אינטגרל של קבוע 📐
\(\int 3 dx = 3x + C\)

בדיקה:
(3x + C)' = 3 + 0 = 3 ✓

או:
3 = 3x⁰
\(\int 3x^0 dx = 3 \cdot \frac{x^1}{1} = 3x + C\)

💡 הסבר:

הוצאת מקדם 📐
\(\int 2x dx = 2\int x dx\)
= \(2 \cdot \frac{x^2}{2} + C\)
= \(x^2 + C\)

בדיקה:
(x² + C)' = 2x ✓

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הוצאת מקדם 📐
\(\int 5x^2 dx = 5\int x^2 dx\)

שלב 2: כלל החזקה 🔢
n = 2
n + 1 = 3

\(5\int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C\)

שלב 3: פישוט ✂️
\(= \frac{5x^3}{3} + C\)

שלב 4: בדיקה ✓
\(\frac{d}{dx}\left[\frac{5x^3}{3} + C\right]\)
= \(\frac{5 \cdot 3x^2}{3} + 0\)
= \(\frac{15x^2}{3}\)
= 5x² ✓

תשובה: \(\frac{5x^3}{3} + C\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק לסכום 📐
\(\int (x+3) dx = \int x dx + \int 3 dx\)

שלב 2: חישוב כל חלק 🔢
חלק ראשון:
\(\int x dx = \frac{x^2}{2}\)

חלק שני:
\(\int 3 dx = 3x\)

שלב 3: חיבור התוצאות ✂️
\(\frac{x^2}{2} + 3x + C\)

שלב 4: בדיקה ✓
\(\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2}{2} + 3x + C\right]\)
= \(\frac{2x}{2} + 3 + 0\)
= x + 3 ✓

תשובה: \(\frac{x^2}{2} + 3x + C\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק 📐
\(\int (2x+5) dx = \int 2x dx + \int 5 dx\)

שלב 2: חישוב 🔢
חלק 1:
\(\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2\)

חלק 2:
\(\int 5 dx = 5x\)

שלב 3: חיבור ✂️
\(x^2 + 5x + C\)

בדיקה ✓
(x² + 5x + C)' = 2x + 5 ✓

תשובה: x² + 5x + C

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק 📐
\(\int (x^2 + x) dx = \int x^2 dx + \int x dx\)

שלב 2: חישוב כל חלק 🔢
חלק 1:
\(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}\)

חלק 2:
\(\int x dx = \frac{x^2}{2}\)

שלב 3: חיבור ✂️
\(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C\)

בדיקה ✓
\(\frac{d}{dx}\left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C\right]\)
= \(\frac{3x^2}{3} + \frac{2x}{2} + 0\)
= x² + x ✓

תשובה: \(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הוצאת מקדם 📐
\(\int 4x^3 dx = 4\int x^3 dx\)

שלב 2: כלל החזקה 🔢
n = 3
n + 1 = 4

\(4\int x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4}\)

שלב 3: פישוט ✂️
\(= \frac{4x^4}{4} = x^4 + C\)

בדיקה ✓
(x⁴ + C)' = 4x³ ✓

הערה 💡
המקדם 4 והמכנה 4 מצטמצמים!
זה קורה כאשר המקדם שווה למעריך+1

תשובה: x⁴ + C

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק 📐
\(\int (3x^2 - 2x) dx = \int 3x^2 dx - \int 2x dx\)

שלב 2: חישוב כל חלק 🔢
חלק 1:
\(\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3\)

חלק 2:
\(\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2\)

שלב 3: חיסור ✂️
\(x^3 - x^2 + C\)

בדיקה ✓
(x³ - x² + C)' = 3x² - 2x ✓

תשובה: x³ - x² + C

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק 📐
\(\int (x^2 + 3x + 2) dx\)
= \(\int x^2 dx + \int 3x dx + \int 2 dx\)

שלב 2: חישוב כל חלק 🔢
חלק 1:
\(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}\)

חלק 2:
\(\int 3x dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2}\)

חלק 3:
\(\int 2 dx = 2x\)

שלב 3: חיבור ✂️
\(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C\)

בדיקה ✓
\(\left(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C\right)'\)
= \(\frac{3x^2}{3} + \frac{6x}{2} + 2 + 0\)
= x² + 3x + 2 ✓

תשובה: \(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הוצאת מקדם 📐
\(\int 6x dx = 6\int x dx\)

שלב 2: כלל החזקה 🔢
\(6\int x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2}\)

שלב 3: פישוט ✂️
\(= \frac{6x^2}{2} = 3x^2 + C\)

בדיקה ✓
(3x² + C)' = 6x ✓

תשובה: 3x² + C

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק 📐
\(\int (x^3 + x^2 + x + 1) dx\)
= \(\int x^3 dx + \int x^2 dx + \int x dx + \int 1 dx\)

שלב 2: חישוב כל חלק 🔢

שלב 3: חיבור ✂️
\(\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C\)

בדיקה ✓
\(\left(\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C\right)'\)
= \(\frac{4x^3}{4} + \frac{3x^2}{3} + \frac{2x}{2} + 1 + 0\)
= x³ + x² + x + 1 ✓

תשובה: \(\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C\)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק לסכום 📐
\(\int (5x^4 - 3x^2 + 7) dx\)
= \(\int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx + \int 7 dx\)

שלב 2: חישוב כל חלק 🔢
חלק 1:
\(\int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5\)

חלק 2:
\(\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3\)

חלק 3:
\(\int 7 dx = 7x\)

שלב 3: חיבור וחיסור ✂️
\(x^5 - x^3 + 7x + C\)

שלב 4: בדיקה מקיפה ✓
\(\frac{d}{dx}[x^5 - x^3 + 7x + C]\)
= 5x⁴ - 3x² + 7 + 0
= 5x⁴ - 3x² + 7 ✓

שלב 5: הערה על צמצומים 💡
שימו לב שהמקדמים מצטמצמים:
• 5 עם 5 בחלק הראשון
• 3 עם 3 בחלק השני
זה קורה כאשר המקדם = (מעריך + 1)

תשובה סופית: x⁵ - x³ + 7x + C