סטטיסטיקה א' - מבחן מקיף מדדי מרכז ופיזור

📊 חישוב ממוצע:

נוסחה: x̄ = Σxᵢ / n

שלב 1: סכום הנתונים
Σxᵢ = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35

שלב 2: מספר הנתונים
n = 5

שלב 3: חלוקה
x̄ = 35 / 5 = 7

💡 שים לב: הממוצע הוא בדיוק הערך האמצעי כי הנתונים מפוזרים סימטרית סביב 7 (עם הפרש קבוע של 2).

⚖️ חישוב חציון - n זוגי:

שלב 1: מספר הנתונים: n = 6 (זוגי)

שלב 2: כש-n זוגי, החציון הוא ממוצע שני הערכים האמצעיים
מיקום 3: x₃ = 6
מיקום 4: x₄ = 8

שלב 3: חישוב
Me = (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7

💡 כלל:
• n אי-זוגי → Me במיקום (n+1)/2
• n זוגי → Me = (x_{n/2} + x_{n/2+1}) / 2

🏆 מציאת שכיח:

השכיח (Mode) הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים.

ספירת שכיחויות:
• 5 מופיע: 1 פעם
• 7 מופיע: 3 פעמים ← הכי הרבה!
• 8 מופיע: 1 פעם
• 9 מופיע: 1 פעם
• 10 מופיע: 1 פעם

Mo = 7

💡 זכרו: יכולים להיות מספר שכיחים (דו-שכיחי, רב-שכיחי) או בכלל לא להיות שכיח (כשכל הערכים מופיעים אותו מספר פעמים).

📏 חישוב טווח:

נוסחה: R = x_max − x_min

שלב 1: מציאת ערך מקסימלי
x_max = 30

שלב 2: מציאת ערך מינימלי
x_min = 15

שלב 3: חישוב
R = 30 − 15 = 15

💡 חיסרון הטווח: הוא מושפע רק משני ערכים קיצוניים ומתעלם מכל שאר ההתפלגות.

📊 תיקון ממוצע:

נוסחה: x̄_חדש = x̄_ישן + (ערך_חדש − ערך_ישן) / n

נתונים:
• x̄_ישן = 75
• ערך שגוי = 65
• ערך נכון = 85
• n = 10

חישוב:
x̄_חדש = 75 + (85 − 65) / 10
x̄_חדש = 75 + 20/10
x̄_חדש = 75 + 2 = 77

💡 דרך נוספת:
סכום ישן = 75 × 10 = 750
סכום חדש = 750 − 65 + 85 = 770
ממוצע חדש = 770/10 = 77

📈 ממוצע משוקלל של שתי קבוצות:

נוסחה: x̄_כללי = (n₁·x̄₁ + n₂·x̄₂) / (n₁ + n₂)

נתונים:
• כיתה א: n₁ = 20, x̄₁ = 80
• כיתה ב: n₂ = 30, x̄₂ = 70

חישוב:
x̄_כללי = (20×80 + 30×70) / (20 + 30)
x̄_כללי = (1600 + 2100) / 50
x̄_כללי = 3700 / 50 = 74

💡 שים לב: הממוצע המשותף (74) קרוב יותר ל-70 מאשר ל-80, כי יש יותר תלמידים בכיתה ב\.

📉 חישוב שונות מדגם:

נוסחה: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1)

שלב 1: ממוצע
x̄ = (4 + 6 + 8) / 3 = 18/3 = 6

שלב 2: סטיות מהממוצע
• 4 − 6 = −2
• 6 − 6 = 0
• 8 − 6 = +2

שלב 3: ריבועי הסטיות
• (−2)² = 4
• (0)² = 0
• (+2)² = 4

שלב 4: סכום = 4 + 0 + 4 = 8

שלב 5: חלוקה ב-(n−1)
s² = 8 / (3−1) = 8/2 = 4

📊 קשר בין שונות לסטיית תקן:

נוסחה: s = √s²

נתון: s² = 16

חישוב:
s = √16 = 4

💡 זכרו:
• שונות = סטיית תקן בריבוע: s² = s·s
• סטיית תקן = שורש השונות: s = √s²
• שונות נמדדת ביחידות², סטיית תקן נמדדת באותן יחידות כמו הנתונים

🔄 טרנספורמציה לינארית - הוספת קבוע:

כאשר y = x + a (מוסיפים a לכל ערך):

השפעה על מדדי מרכז:
• ȳ = x̄ + a (הממוצע גדל ב-a)
• Me_y = Me_x + a (החציון גדל ב-a)

השפעה על מדדי פיזור:
• s_y = s_x (סטיית תקן לא משתנה!)
• s²_y = s²_x (שונות לא משתנה!)

בשאלה שלנו: a = 5
הממוצע יגדל ב-5

💡 היגיון: אם כולם מקבלים תוספת של 5 נקודות, הממוצע עולה ב-5, אבל הפיזור נשאר אותו דבר.

🔄 טרנספורמציה לינארית - כפל בקבוע:

כאשר y = b·x (כופלים כל ערך ב-b):

השפעה על מדדי מרכז:
• ȳ = b·x̄ (הממוצע מוכפל ב-b)

השפעה על מדדי פיזור:
• s_y = |b|·s_x (סטיית תקן מוכפלת ב-|b|)
• s²_y = b²·s²_x (שונות מוכפלת ב-b²)

בשאלה שלנו: b = 2
• סטיית תקן תוכפל ב-2
• שונות תוכפל ב-4

💡 זכרו: כפל משפיע על הפיזור, הוספה לא!

📊 חישוב מקדם שונות:

נוסחה: CV = (s / x̄) × 100%

נתונים:
• x̄ = 50
• s = 10

חישוב:
CV = (10 / 50) × 100%
CV = 0.2 × 100%
CV = 20%

💡 שימוש במקדם שונות:
מאפשר להשוות פיזור בין קבוצות שונות גם כאשר:
• הממוצעים שונים מאוד
• יחידות המדידה שונות

⚖️ מתי להשתמש בחציון?

החציון עדיף כאשר:

✅ יש ערכים קיצוניים (outliers)
הממוצע מושפע מאוד מערכים קיצוניים, החציון לא.

✅ ההתפלגות א-סימטרית
למשל: התפלגות הכנסות (רוב מרוויחים פחות, מעטים מרוויחים הרבה)

דוגמה:
משכורות: 8000, 9000, 10000, 11000, 100000
• ממוצע = 27,600 (מוטה!)
• חציון = 10,000 (מייצג יותר טוב)

💡 בהתפלגות סימטרית - ממוצע = חציון = שכיח

📈 אסימטריה לימין (חיובית):

בהתפלגות עם "זנב" ארוך לימין:

Mo < Me < x̄
(שכיח < חציון < ממוצע)

📊 דוגמה: התפלגות הכנסות
• רוב האנשים מרוויחים סביב הממוצע (שכיח)
• החציון קצת יותר גבוה
• הממוצע "נמשך" ע"י העשירים מאוד

💡 כלל זיכרון:
• אסימטריה חיובית → הממוצע "נמשך" לימין
• אסימטריה שלילית → הממוצע "נמשך" לשמאל

📊 ממוצע מטבלת שכיחויות:

נוסחה: x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ) / Σfᵢ

טבלת חישוב:
• 70 × 3 = 210
• 80 × 5 = 400
• 90 × 2 = 180

סכומים:
• Σfᵢ = 3 + 5 + 2 = 10
• Σ(fᵢ·xᵢ) = 210 + 400 + 180 = 790

חישוב:
x̄ = 790 / 10 = 79

💡 זהו ממוצע משוקלל - כל ציון "שוקל" לפי מספר התלמידים שקיבלו אותו.

📉 הבדל בין שונות אוכלוסייה למדגם:

שונות אוכלוסייה:
σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N

שונות מדגם:
s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1)

💡 למה n-1 ולא n?
זה נקרא "תיקון בסל" (Bessel\s correction).
כשמחשבים מהמדגם, אנחנו משתמשים ב-x̄ (אומדן) במקום ב-μ (הפרמטר האמיתי).
חלוקה ב-(n-1) מתקנת הטיה ונותנת אומדן חסר הטיה לשונות האוכלוסייה.

💡 בבחינה: תמיד שימו לב אם מדובר באוכלוסייה או במדגם!

🔢 סטיית תקן כשכל הערכים זהים:

כשכל הנתונים שווים - אין פיזור כלל!

חישוב:
x̄ = 10 (כל הערכים שווים לממוצע)

כל סטייה: xᵢ − x̄ = 10 − 10 = 0

כל ריבוע סטייה: 0² = 0

סכום ריבועי הסטיות: 0

s² = 0 / (n−1) = 0

s = √0 = 0

💡 מסקנה: סטיית תקן = 0 אם ורק אם כל הנתונים זהים (אין שונות כלל).

📊 מדדי מרכז לפי סולם מדידה:

📏 חישוב רבעון ראשון Q₁:

הגדרה: Q₁ הוא הערך שמתחתיו נמצאים 25% מהנתונים.

שיטת החציון של החציון:
n = 8 נתונים

שלב 1: מחלקים ל-2 חלקים
חלק תחתון: 3, 5, 7, 12
חלק עליון: 15, 18, 20, 25

שלב 2: Q₁ = חציון החלק התחתון
Q₁ = (5 + 7) / 2 = 6

שלב 3: Q₃ = חציון החלק העליון
Q₃ = (18 + 20) / 2 = 19

💡 טווח בין-רבעוני: IQR = Q₃ − Q₁ = 19 − 6 = 13

📊 נוסחת הקיצור לשונות:

הנוסחה:
s² = [Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n] / (n−1)

או בצורה שקולה:
s² = [Σxᵢ² − n·x̄²] / (n−1)

יתרונות:
• לא צריך לחשב כל סטייה בנפרד
• מספיק לחשב Σxᵢ ו-Σxᵢ²
• נוח במיוחד עם מחשבון

דוגמה: נתונים 2, 4, 6
Σxᵢ = 12, Σxᵢ² = 4+16+36 = 56, n = 3
s² = [56 − 144/3] / 2 = [56 − 48] / 2 = 4

📈 מעבר מציון תקן לציון מקורי:

נוסחת ציון תקן:
z = (x − x̄) / s

היפוך הנוסחה:
x = x̄ + z·s

נתונים:
• z = 1.5
• x̄ = 70
• s = 10

חישוב:
x = 70 + 1.5 × 10
x = 70 + 15 = 85

💡 פירוש:
z = 1.5 אומר שהתלמיד נמצא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע.
כלומר: 70 + 1.5×10 = 85