אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה - פונקציה רציונלית

"רכשתי קורס בסטטיסטיקה אחרי המלצות רבות ועכשיו אני מבין את הביקורות הטובות.... הקורס מאוד ידידותי עם חזרה על החומר והסברים מאוד איכותיים."

תחום הגדרה - פונקציה רציונלית

מבחן תחום הגדרה פונקציה רציונלית - מכנה ≠0, פירוק לגורמים, צמצום, מכנים ריבועיים ומורכבים.

מבחן זה מכסה: מכנה ליניארי בסיסי מכנה ריבועי (שתי נקודות) מכנה מפורק מראש צמצום - מקרה מיוחד חשוב מכנה ריבועי מורכב (פירוק) מכנה ללא שורשים ממשיים ריבוע שלם במכנה חזקות שונות במכנה ערך מוחלט במכנה סיכום מלא

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד

מספר שאלות: 10

ניקוד כולל: 100 נק'

שאלה 1

10.00 נק'

➗ רציונלית בסיסית:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{3x+5}{2x-6}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-3\}\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{6\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)

הסבר:

➗ מכנה ליניארי

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{3x+5}{2x-6}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
המכנה \(\neq 0\)

\(2x - 6 \neq 0\)

שלב 2: פתרון
\(2x \neq 6\)

\(x \neq 3\) ✓

שלב 3: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)

הסבר:

"כל המספרים הממשיים חוץ מ-3"

• \(x = 2.9\) ✓ מותר
• \(x = 3\) ✗ אסור!
• \(x = 3.1\) ✓ מותר

⚠️ שים לב:

המונה לא משפיע על התחום!

רק המכנה חשוב!

שאלה 2

10.00 נק'

²÷ מכנה ריבועי:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{x+1}{x^2-16}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}\)

\([-4, 4]\)

\(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{16\}\)

הסבר:

²÷ מכנה ריבועי

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{x+1}{x^2-16}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
המכנה \(\neq 0\)

\(x^2 - 16 \neq 0\)

שלב 2: פירוק
\((x-4)(x+4) \neq 0\)

שלב 3: שורשים
\(x \neq 4\) וגם \(x \neq -4\)

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}\) ✓

הסבר:

"כל הממשיים חוץ מ--4 ו-4"

שתי נקודות אסורות!

• \(x = -5\) ✓
• \(x = -4\) ✗
• \(x = 0\) ✓
• \(x = 4\) ✗
• \(x = 5\) ✓

שאלה 3

10.00 נק'

🔧 מכנה מפורק:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{2}{(x-1)(x+3)}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{1, 3\}\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{-3, 1\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{-1, 3\}\)

הסבר:

🔧 מכנה מפורק

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{2}{(x-1)(x+3)}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
המכנה \(\neq 0\)

\((x-1)(x+3) \neq 0\)

שלב 2: מתי מכפלה = 0?

כאשר אחד הגורמים = 0

\(x - 1 = 0\) → \(x = 1\)
או
\(x + 3 = 0\) → \(x = -3\)

שלב 3: תנאי
\(x \neq 1\) וגם \(x \neq -3\)

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{-3, 1\}\) ✓

יתרון:

כשהמכנה מפורק:

קל מאוד לראות את הנקודות האסורות!

כל גורם מראה נקודה אסורה ✓

שאלה 4

10.00 נק'

⚠️ צמצום:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) - גם אחרי צמצום!

\(\mathbb{R}\)

\([3, \infty)\)

הסבר:

⚠️ מקרה מיוחד - צמצום

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}\)

⚠️ זהירות!

טעות נפוצה:
לצמצם ולחשוב שהתחום השתנה ❌

הדרך הנכונה:

שלב 1: תחום לפני צמצום
\(x - 3 \neq 0\)
\(x \neq 3\) ✓

שלב 2: עכשיו אפשר לצמצם
\(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3\)

(רק כש-\(x \neq 3\)!)

שלב 3: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) ✓

הכלל הזהב:

התחום נקבע לפני הצמצום!

גם אם אחרי צמצום זה נראה כמו \(x+3\),

התחום עדיין \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)!

כי המקור היה שבר ✓

למה?

ב-\(x=3\):

המכנה המקורי = 0

אסור לחלק ב-0!

הצמצום לא מבטל את זה

שאלה 5

10.00 נק'

🔢 מורכב:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{5}{x^2+4x+3}\)?

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{1, 3\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{-3, -1\}\)

\([-3, -1]\)

הסבר:

🔢 מכנה ריבועי מורכב

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{5}{x^2+4x+3}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\(x^2 + 4x + 3 \neq 0\)

שלב 2: פירוק
מחפשים שני מספרים:
• סכום = 4
• מכפלה = 3

\(3 + 1 = 4\) ✓
\(3 \times 1 = 3\) ✓

\((x+3)(x+1) \neq 0\)

שלב 3: שורשים
\(x \neq -3\) וגם \(x \neq -1\)

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{-3, -1\}\) ✓

שיטה כללית:

כדי למצוא תחום של רציונלית:

1. שווה מכנה ל-0
2. פרק את המשוואה
3. מצא שורשים
4. אלו הנקודות האסורות!

בדיקה:

• \(x = -4\): \(\frac{5}{3}\) ✓
• \(x = -3\): \(\frac{5}{0}\) ✗
• \(x = -2\): \(\frac{5}{-1}\) ✓
• \(x = -1\): \(\frac{5}{0}\) ✗
• \(x = 0\): \(\frac{5}{3}\) ✓

שאלה 6

10.00 נק'

∅ אין שורשים:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{x^2+4}\)?

\(\mathbb{R}\) - המכנה תמיד חיובי!

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

\([4, \infty)\)

\(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\)

הסבר:

∅ מכנה ללא שורשים

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{x^2+4}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\(x^2 + 4 \neq 0\)

שלב 2: האם יש פתרון?
\(x^2 = -4\)

אין מספר ממשי שריבוע שלו שלילי!

אין שורשים! ✓

שלב 3: מסקנה
המכנה אף פעם לא מתאפס!

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R}\) ✓

הסבר:

\(x^2 \geq 0\) תמיד

אז: \(x^2 + 4 \geq 4 > 0\) תמיד!

המכנה תמיד חיובי

אין נקודות אסורות! ✓

הכלל הכללי:

אם המכנה הוא \(x^2 + c\)
כאשר \(c > 0\)

אז התחום: \(\mathbb{R}\) ✓

דוגמאות:
• \(\frac{1}{x^2+1}\) → \(\mathbb{R}\)
• \(\frac{1}{x^2+9}\) → \(\mathbb{R}\)
• \(\frac{1}{x^2+100}\) → \(\mathbb{R}\)

שאלה 7

10.00 נק'

² ריבוע שלם:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{3}{(x-5)^2}\)?

\([5, \infty)\)

\(\mathbb{R} \setminus \{5\}\) - נקודה אחת בלבד

\(\mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}\)

\(\mathbb{R}\)

הסבר:

² ריבוע שלם במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{3}{(x-5)^2}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\((x-5)^2 \neq 0\)

שלב 2: מתי ריבוע = 0?

רק כאשר הבסיס = 0!

\(x - 5 = 0\)

\(x = 5\) ✓

שלב 3: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{5\}\)

⚠️ שים לב:

למרות שזה ריבוע,

יש רק נקודה אחת אסורה!

לא שתיים!

\((x-5)^2 = (x-5)(x-5)\)

אותו גורם פעמיים = נקודה אחת

בדיקה:

• \(x = 4\): \(\frac{3}{1}\) ✓
• \(x = 5\): \(\frac{3}{0}\) ✗
• \(x = 6\): \(\frac{3}{1}\) ✓

שאלה 8

10.00 נק'

³ חזקות שונות:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{x(x-2)^3}\)?

\([0, 2]\)

\(\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

הסבר:

³ חזקות במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{x(x-2)^3}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\(x(x-2)^3 \neq 0\)

שלב 2: מתי מכפלה = 0?

כאשר אחד הגורמים = 0

\(x = 0\) או \((x-2)^3 = 0\)

שלב 3: פתרון
• מהגורם הראשון: \(x = 0\)
• מהגורם השני: \(x = 2\)

שלב 4: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}\) ✓

הכלל:

החזקה לא משנה את הנקודות האסורות!

• \(x\) → \(x = 0\) אסור
• \(x^2\) → \(x = 0\) אסור
• \(x^{100}\) → \(x = 0\) אסור

אותה נקודה!

דוגמאות נוספות:

\(\frac{1}{(x-1)^5(x+3)^2}\)

תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{-3, 1\}\)

שאלה 9

10.00 נק'

|| ערך מוחלט:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{|x-4|}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

\(\mathbb{R}\)

\([4, \infty)\)

הסבר:

|| ערך מוחלט במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{|x-4|}\)

פתרון:

שלב 1: תנאי
\(|x-4| \neq 0\)

שלב 2: מתי ערך מוחלט = 0?

רק כאשר הביטוי בפנים = 0!

\(x - 4 = 0\)

\(x = 4\) ✓

שלב 3: תחום
\(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

למה?

ערך מוחלט תמיד אי-שלילי!

\(|x-4| \geq 0\)

הוא מתאפס רק ב-\(x=4\)

בכל מקום אחר הוא חיובי ✓

בדיקה:

• \(x = 3\): \(\frac{1}{|-1|} = 1\) ✓
• \(x = 4\): \(\frac{1}{0}\) ✗
• \(x = 5\): \(\frac{1}{|1|} = 1\) ✓

שאלה 10

10.00 נק'

📚 סיכום:

מה הכלל למציאת תחום של רציונלית?

תמיד כל הממשיים

בדוק רק את הטווח

מצא איפה המונה = 0

מצא איפה המכנה = 0, אלו הנקודות האסורות

הסבר:

📚 סיכום - רציונלית

השלבים:

1️⃣ כתוב תנאי:
המכנה ≠ 0

2️⃣ פרק (אם צריך):
הפוך לגורמים

3️⃣ מצא שורשים:
איפה כל גורם = 0

4️⃣ כתוב תחום:
\(\mathbb{R} \setminus \{\text{שורשים}\}\)

טבלת סיכום:

סוג מכנה	תחום
\(x-a\)	\(\mathbb{R} \setminus \{a\}\)
\((x-a)(x-b)\)	\(\mathbb{R} \setminus \{a,b\}\)
\((x-a)^2\)	\(\mathbb{R} \setminus \{a\}\)
\(x^2+c\) (\(c>0\))	\(\mathbb{R}\)

זכור:

• רק המכנה חשוב לתחום!
• צמצום לא משנה תחום
• חזקה לא משנה נקודות אסורות
• ערך מוחלט: בדוק איפה הביטוי = 0

⚠️ טעות נפוצה:

לשכוח לבדוק תחום לפני צמצום!

\(\frac{x^2-4}{x-2}\)

גם אחרי צמצום ל-\(x+2\),

התחום: \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) ✓

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 10 הושלמו