אורח מצב צפייה מבחן: פונקציות חח"ע (bijective)

פונקציות חח"ע (bijective)

מבחן פונקציות חח"ע (bijective) - חד-חד וגם על, פונקציה הופכית, גרף הופכית, סימטריה לישר y=x.

הגדרת חח"ע (חד-חד וגם על) לינארית (תמיד חח"ע) ריבועית (עם הגבלה) פונקציה הופכית - משפט יסודי מעריכית ולוגריתם כהופכיות קוביה (חח"ע) הרכבת חח"ע מציאת פונקציה הופכית גרף הופכית (סימטריה) סיכום מלא
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

🎯 הגדרה:

פונקציה \(f: A \to B\) היא חח"ע (bijective) אם:

הסבר:
🎯 פונקציה חח"ע - הגדרה

ההגדרה:

פונקציה \(f: A \to B\) היא חח"ע (bijective / one-to-one correspondence) אם:

1. חד-חד ערכית (injective) ✓
2. על (surjective) ✓

שני התנאים ביחד!

במילים פשוטות:

התאמה חד-חד ערכית בין A ל-B

• כל איבר ב-A מתאים לאיבר אחד ב-B
• כל איבר ב-B מתקבל מאיבר אחד ב-A

התאמה מושלמת! ✓

ABהתאמה 1:1מושלמת!
שקול:

\(f\) חח"ע ⇔

• חד-חד: \(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)
• על: טווח(f) = B

שניהם ביחד!

⚠️ זכור:

• חד-חד בלי על ⇏ חח"ע ✗
• על בלי חד-חד ⇏ חח"ע ✗
• חד-חד + על = חח"ע ✓

צריך את שני התנאים!

למה זה חשוב?

פונקציה חח"ע:

• יש לה פונקציה הופכית \(f^{-1}\) ✓
• מאפשרת "להפוך" את הפעולה
• יוצרת התאמה מושלמת בין הקבוצות

זו הפונקציה "הכי טובה"!
שאלה 2
10.00 נק'

✅ דוגמה:

האם \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x - 2\) היא חח"ע?

הסבר:
✅ לינארית חח"ע

הפונקציה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

\(f(x) = 3x - 2\)

בדיקה 1: חד-חד?

נניח \(f(x_1) = f(x_2)\):

\(3x_1 - 2 = 3x_2 - 2\)

\(3x_1 = 3x_2\)

\(x_1 = x_2\) ✓

חד-חד ערכית! ✓

בדיקה 2: על?

יהי \(y \in \mathbb{R}\) כלשהו

פתרון \(3x - 2 = y\):

\(3x = y + 2\)

\(x = \frac{y+2}{3} \in \mathbb{R}\) ✓

תמיד יש פתרון!

על! ✓

מסקנה:

חד-חד ✓ + על ✓ = חח"ע! ✓

יש פונקציה הופכית:

\(f^{-1}(y) = \frac{y+2}{3}\)

חיתוך אחד (חד-חד) ✓כל y מכוסה (על) ✓
הכלל הכללי:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
\(f(x) = ax + b\)

חח"ע אם ורק אם \(a \neq 0\)

• אם \(a = 0\): קבועה (לא חח"ע) ✗
• אם \(a \neq 0\): תמיד חח"ע! ✓

למה?

קו ישר (לא אופקי):

• חותך כל קו אופקי פעם אחת (חד-חד)
• עובר דרך כל הערכים (על)

התאמה מושלמת! ✓
שאלה 3
10.00 נק'

² ריבועית:

האם \(f: [0, \infty) \to [0, \infty)\), \(f(x) = x^2\) היא חח"ע?

הסבר:
² ריבועית - עם הגבלה!

הפונקציה:

\(f: [0, \infty) \to [0, \infty)\)

\(f(x) = x^2\)

בדיקה 1: חד-חד?

על \([0, \infty)\) בלבד!

נניח \(f(x_1) = f(x_2)\) עם \(x_1, x_2 \geq 0\):

\(x_1^2 = x_2^2\)

\(x_1^2 - x_2^2 = 0\)

\((x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0\)

אז \(x_1 = x_2\) או \(x_1 = -x_2\)

אבל \(x_1, x_2 \geq 0\), אז רק \(x_1 = x_2\) אפשרי! ✓

חד-חד ערכית! ✓

בדיקה 2: על?

טווח של \(x^2\) על \([0, \infty)\):

לכל \(x \geq 0\): \(x^2 \geq 0\)

טווח = \([0, \infty)\) = B ✓

על! ✓

מסקנה:

חד-חד ✓ + על ✓ = חח"ע! ✓

יש פונקציה הופכית:

\(f^{-1}: [0, \infty) \to [0, \infty)\)

\(f^{-1}(y) = \sqrt{y}\)

חיתוך אחד! ✓רק x≥0
⚠️ השוואה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)
• לא חד-חד ✗ (כי \((-2)^2 = 2^2\))
• לא על ✗ (כי טווח = \([0,\infty)\))
• לא חח"ע ✗

\(f: [0,\infty) \to [0,\infty)\), \(f(x) = x^2\)
• כן חד-חד ✓
• כן על ✓
• כן חח"ע ✓

הנקודה:

בהגבלת התחום והטווח נכון,
אפילו ריבועית יכולה להיות חח"ע!

צריך לבחור נכון את A ו-B ✓
שאלה 4
10.00 נק'

🔄 פונקציה הופכית:

מתי לפונקציה \(f: A \to B\) יש פונקציה הופכית \(f^{-1}: B \to A\)?

הסבר:
🔄 פונקציה הופכית

משפט יסודי:

לפונקציה \(f: A \to B\) יש פונקציה הופכית

אם ורק אם

f היא חח"ע (bijective)

למה?

כיוון ראשון (⇐):

אם f חח"ע, אז:

• חד-חד: לכל y יש לכל היותר x אחד
• על: לכל y יש לפחות x אחד

⇒ לכל y יש בדיוק x אחד! ✓

אז אפשר להגדיר:
\(f^{-1}(y) = \text{ה-x היחיד כך ש-} f(x) = y\)

כיוון שני (⇒):

אם יש \(f^{-1}\), אז:

• לכל y יש x (⇒ f על)
• x יחיד (⇒ f חד-חד)

⇒ f חח"ע ✓

תכונות ההופכית:

אם \(f: A \to B\) חח"ע, אז:

1. \(f^{-1}: B \to A\) קיימת ✓

2. \(f^{-1}(f(x)) = x\) לכל \(x \in A\) ✓

3. \(f(f^{-1}(y)) = y\) לכל \(y \in B\) ✓

4. \(f^{-1}\) גם חח"ע! ✓

5. \((f^{-1})^{-1} = f\) ✓

ABff⁻¹
⚠️ זכור:

• רק חד-חד ⇏ יש הופכית ✗
• רק על ⇏ יש הופכית ✗
• חח"ע ⇔ יש הופכית ✓

צריך את שני התנאים!

דוגמאות:

• \(e^x: \mathbb{R} \to (0,\infty)\) חח"ע
הופכית: \(\ln: (0,\infty) \to \mathbb{R}\) ✓

• \(x^2: [0,\infty) \to [0,\infty)\) חח"ע
הופכית: \(\sqrt{x}: [0,\infty) \to [0,\infty)\) ✓

• \(x^2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) לא חח"ע
אין הופכית! ✗
שאלה 5
10.00 נק'

📈📊 זוג הופכיות:

האם \(e^x: \mathbb{R} \to (0, \infty)\) ו-\(\ln: (0, \infty) \to \mathbb{R}\) הן הופכיות זו לזו?

הסבר:
📈📊 זוג הופכיות קלאסי

הפונקציות:

\(f: \mathbb{R} \to (0, \infty)\), \(f(x) = e^x\)

\(g: (0, \infty) \to \mathbb{R}\), \(g(x) = \ln(x)\)

בדיקה: f חח"ע?

1. חד-חד: \(e^x\) עולה ממש ⇒ חד-חד ✓

2. על: טווח(\(e^x\)) = \((0,\infty)\) = B ✓

⇒ f חח"ע! ✓

בדיקה: g חח"ע?

1. חד-חד: \(\ln(x)\) עולה ממש ⇒ חד-חד ✓

2. על: טווח(\(\ln\)) = \(\mathbb{R}\) = B ✓

⇒ g חח"ע! ✓

בדיקה: הופכיות?

\(g(f(x)) = \ln(e^x) = x\) ✓

\(f(g(y)) = e^{\ln(y)} = y\) ✓

הן הופכיות זו לזו! ✓

הסימון:

\(\ln = (e^x)^{-1}\)

\(e^x = (\ln)^{-1}\)

שתיהן הופכיות!

ln(x)eˣy=x (ציר סימטריה)
תכונה מעניינת:

הגרפים של \(e^x\) ו-\(\ln\)

סימטריים ביחס לישר \(y = x\)!

זו תכונה כללית של פונקציות הופכיות ✓

זוגות נוספים:

• \(x^2: [0,\infty) \to [0,\infty)\) ↔ \(\sqrt{x}\)
• \(\sin: [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \to [-1,1]\) ↔ \(\arcsin\)
• \(\cos: [0,\pi] \to [-1,1]\) ↔ \(\arccos\)
• \(\tan: (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}\) ↔ \(\arctan\)
שאלה 6
10.00 נק'

³ קוביה:

האם \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^3\) היא חח"ע?

הסבר:
³ קוביה - כן חח"ע!

הפונקציה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

\(f(x) = x^3\)

בדיקה 1: חד-חד?

\(x^3\) עולה ממש בכל \(\mathbb{R}\)

לכל \(x_1 < x_2\):
\(x_1^3 < x_2^3\) ✓

⇒ חד-חד ערכית! ✓

בדיקה 2: על?

טווח של \(x^3\):

• \(x \to -\infty\): \(x^3 \to -\infty\)
• \(x \to \infty\): \(x^3 \to \infty\)

טווח = \(\mathbb{R}\) = B ✓

על! ✓

מסקנה:

חד-חד ✓ + על ✓ = חח"ע! ✓

יש פונקציה הופכית:

\(f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

\(f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}\)

(שורש שלישי)

(0,0)חיתוך אחד! ✓כל y מכוסה! ✓
למה קוביה טובה יותר מריבועית?

ריבועית (\(x^2\)):
• לא חד-חד על \(\mathbb{R}\) (זוגית)
• צריך להגביל תחום

קוביה (\(x^3\)):
• כן חד-חד על \(\mathbb{R}\) (אי-זוגית)
• לא צריך להגביל! ✓

הכלל:

\(f(x) = x^n\) על \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

• \(n\) אי-זוגי: חח"ע ✓
(יש הופכית: \(\sqrt[n]{x}\))

• \(n\) זוגי: לא חח"ע ✗
(צריך להגביל תחום)
שאלה 7
10.00 נק'

∘ הרכבה:

אם \(f: A \to B\) ו-\(g: B \to C\) שתיהן חח"ע, האם \(g \circ f\) חח"ע?

הסבר:
∘ הרכבת חח"ע

משפט:

אם \(f: A \to B\) ו-\(g: B \to C\) שתיהן חח"ע,

אז \((g \circ f): A \to C\)

גם חח"ע! ✓

הוכחה:

צריך להוכיח ש-\(g \circ f\):
1. חד-חד ✓
2. על ✓

חלק 1: חד-חד

כיוון ש-f ו-g חד-חד ⇒ \(g \circ f\) חד-חד
(הוכחנו במבחן 241) ✓

חלק 2: על

כיוון ש-f ו-g על ⇒ \(g \circ f\) על
(הוכחנו במבחן 242) ✓

⇒ \(g \circ f\) חח"ע! ✓

הפונקציה ההופכית:

אם f ו-g חח"ע, אז:

\((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)

סדר הפוך!

הוכחה:

\((g \circ f)(f^{-1}(g^{-1}(z)))\)

\(= g(f(f^{-1}(g^{-1}(z))))\)

\(= g(g^{-1}(z))\)

\(= z\) ✓

ABCf (חח"ע)g (חח"ע)g∘f (חח"ע!)
דוגמה:

\(f: \mathbb{R} \to (0,\infty)\), \(f(x) = e^x\) - חח"ע ✓

\(g: (0,\infty) \to [0,\infty)\), \(g(x) = \sqrt{x}\) - חח"ע ✓

\((g \circ f)(x) = \sqrt{e^x} = e^{x/2}\)

גם חח"ע! ✓

הופכית: \(\ln(x^2) = 2\ln(x)\)

⚠️ סיכום תכונות הרכבה:

• חד-חד + חד-חד = חד-חד ✓
• על + על = על ✓
• חח"ע + חח"ע = חח"ע ✓

הכל נשמר בהרכבה!
שאלה 8
10.00 נק'

🔍 מציאת הופכית:

איך מוצאים את ההופכית של \(f(x) = 2x + 3\)?

הסבר:
🔍 מציאת פונקציה הופכית

השיטה:

שלב 1: כתוב \(y = f(x)\)

שלב 2: פתור עבור x
(x כפונקציה של y)

שלב 3: החלף את הסימון
\(f^{-1}(y) = ...\)

דוגמה: \(f(x) = 2x + 3\)

שלב 1:

\(y = 2x + 3\)

שלב 2: פתור עבור x

\(y - 3 = 2x\)

\(x = \frac{y-3}{2}\) ✓

שלב 3:

\(f^{-1}(y) = \frac{y-3}{2}\)

או בסימון רגיל:

\(f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}\) ✓

בדיקה:

\(f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x-3}{2}\right)\)

\(= 2 \cdot \frac{x-3}{2} + 3\)

\(= (x-3) + 3\)

\(= x\) ✓

\(f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x+3)\)

\(= \frac{(2x+3)-3}{2}\)

\(= \frac{2x}{2}\)

\(= x\) ✓

עובד!

דוגמה 2: \(f(x) = x^3 + 1\)

שלב 1: \(y = x^3 + 1\)

שלב 2:
\(y - 1 = x^3\)
\(x = \sqrt[3]{y-1}\) ✓

שלב 3:
\(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x-1}\) ✓

דוגמה 3: \(f(x) = e^{2x}\)

שלב 1: \(y = e^{2x}\)

שלב 2:
\(\ln(y) = 2x\)
\(x = \frac{\ln(y)}{2}\) ✓

שלב 3:
\(f^{-1}(x) = \frac{\ln(x)}{2}\) ✓

⚠️ זכור:

אפשר למצוא הופכית רק אם הפונקציה חח"ע!

אם הפונקציה לא חח"ע:
• צריך להגביל תחום
• או אין הופכית ✗
שאלה 9
10.00 נק'

📊 גרף הופכית:

מה הקשר בין הגרף של \(f\) לגרף של \(f^{-1}\)?

הסבר:
📊 גרף הופכית

המשפט:

הגרפים של \(f\) ו-\(f^{-1}\)

סימטריים ביחס לישר \(y = x\)

למה?

אם \((a, b)\) על הגרף של f:
⇒ \(f(a) = b\)

אז:
⇒ \(f^{-1}(b) = a\)
⇒ \((b, a)\) על הגרף של \(f^{-1}\)

הנקודות \((a, b)\) ו-\((b, a)\)
סימטריות ביחס ל-\(y = x\)! ✓

y=xff⁻¹(a,b)(b,a)
איך לצייר הופכית?

1. צייר את \(f\)

2. צייר את הישר \(y = x\)

3. "שקף" את f ביחס לישר

זה הגרף של \(f^{-1}\)! ✓

דוגמאות:

• \(e^x\) ו-\(\ln(x)\) סימטריים ✓

• \(x^2\) (על \([0,\infty)\)) ו-\(\sqrt{x}\) סימטריים ✓

• \(x^3\) ו-\(\sqrt[3]{x}\) סימטריים ✓

תכונה מיוחדת:

אם \(f = f^{-1}\):

הגרף סימטרי ביחס ל-\(y = x\) לעצמו!

דוגמה:
\(f(x) = \frac{1}{x}\)

היא הופכית לעצמה! ✓

⚠️ זכור:

תחום של \(f\) = טווח של \(f^{-1}\)

טווח של \(f\) = תחום של \(f^{-1}\)

התפקידים מתחלפים!
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מה התנאי ההכרחי והמספיק כדי ש-\(f: A \to B\) תהיה חח"ע?

הסבר:
📚 סיכום - חח"ע

הגדרה:

\(f: A \to B\) חח"ע ⇔

1. חד-חד ערכית (injective) ✓
2. על (surjective) ✓

שני התנאים ביחד!

משפט יסודי:

f חח"ע ⇔ יש לה פונקציה הופכית \(f^{-1}\)

סוגחח"ע?הערות
לינארית✓ (a≠0)תמיד (על ℝ→ℝ)
ריבועית✗ / ✓צריך להגביל תחום
קוביה✓ℝ→ℝ
מעריכית✓ℝ→(0,∞)
לוגריתם✓(0,∞)→ℝ

תכונות הופכית:

• \(f^{-1}(f(x)) = x\) ✓
• \(f(f^{-1}(y)) = y\) ✓
• \((f^{-1})^{-1} = f\) ✓
• \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\) ✓
• גרפים סימטריים ביחס ל-\(y=x\) ✓

איך למצוא הופכית:

1. \(y = f(x)\)
2. פתור עבור x
3. \(f^{-1}(y) = ...\)
4. בדוק: \(f(f^{-1}(x)) = x\)

⚠️ חשוב:

• רק חד-חד ⇏ חח"ע ✗
• רק על ⇏ חח"ע ✗
• צריך את שני התנאים!

חח"ע = התאמה מושלמת 1:1 ✓
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו