אורח מצב צפייה מבחן: קירוב נורמלי להתפלגות בינומית

"רכשתי קורס בסטטיסטיקה אחרי המלצות רבות ועכשיו אני מבין את הביקורות הטובות.... הקורס מאוד ידידותי עם חזרה על החומר והסברים מאוד איכותיים."

קירוב נורמלי להתפלגות בינומית

מבחן קירוב נורמלי להתפלגות בינומית - 50 שאלות: תנאי הקירוב np≥5, תיקון רציפות, רווחי סמך לשיעורים, בדיקות השערות. סטטיסטיקה מקיפה.

חלק א - יסודות בינומית (1-10): ✅ הגדרת התפלגות בינומית ✅ נוסחת ההסתברות ✅ פרמטרים וחישובים ✅ צורת ההתפלגות ✅ קשר לברנולי חלק ב - הקירוב הנורמלי (11-20): ✅ תנאי הקירוב: np≥5, n(1-p)≥5 ✅ פרמטרי הקירוב: N(np, np(1-p)) ✅ תיקון רציפות - למה וכיצד ✅ כללי התיקון לכל מקרה ✅ תרגילים עם תיקון חלק ג - יישומים (21-30): ✅ שיעור במדגם p̂ ✅ רווחי סמך לשיעורים ✅ גודל מדגם לסקרים ✅ בדיקות השערות לשיעורים ✅ השוואת שני שיעורים ✅ מקרים קיצוניים ✅ קירוב פואסון-נורמלי חלק ד - שגיאות וטיפים (31-40): ✅ שכחת תיקון רציפות ✅ אי-בדיקת תנאים ✅ כיוון תיקון שגוי ✅ פרמטרים בבדיקת השערה ✅ טיפים לבדיקה מהירה ✅ גישה שמרנית (p=0.5) ✅ אימות תשובות ✅ מתי להשתמש במחשבון חלק ה - תרגילים מקיפים (41-50): ✅ בקרת איכות ✅ סקר פוליטי ✅ ניסוי קליני ✅ תכנון ניסוי ✅ השוואה לפואסון ✅ סיכום קשרים בין התפלגויות ✅ נוסחאות מרכזיות ✅ תהליך עבודה ✅ יישומים בחיים ✅ המסר המרכזי

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד

מספר שאלות: 50

ניקוד כולל: 100 נק'

שאלה 1

2.00 נק'

📚 הגדרה בסיסית:

מהי התפלגות בינומית?

ממוצע של n משתנים

רק להתפלגות נורמלית

מספר ההצלחות ב-n ניסויים בלתי תלויים, כל אחד עם הסתברות הצלחה p

סכום של מספרים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

התפלגות בינומית! 📚

📊 ההגדרה המלאה:

X ~ Binomial(n, p)

X = מספר ההצלחות
ב-n ניסויים בלתי תלויים

כל ניסוי:
• הצלחה בהסתברות p
• כישלון בהסתברות 1-p

🎯 ניסוי ברנולי:

ניסוי עם 2 תוצאות אפשריות:
• הצלחה (Success) - S
• כישלון (Failure) - F

📐 תכונות מרכזיות:

1️⃣ מספר ניסויים קבוע: n

2️⃣ בלתי תלויים: תוצאה של ניסוי אחד לא משפיעה על אחר

3️⃣ הסתברות קבועה: p זהה בכל ניסוי

4️⃣ שתי תוצאות: הצלחה או כישלון

💡 דוגמאות:

✓ זריקת מטבע 10 פעמים
n=10, p=0.5
X = מספר "עץ"

✓ בחירת 20 פריטים מקו ייצור
n=20, p=0.05 (שיעור פגומים)
X = מספר פגומים

✓ 100 חולים מקבלים תרופה
n=100, p=0.7 (שיעור החלמה)
X = מספר שהחלימו

⭐ פרמטרים:

תוחלת:	E(X) = np
שונות:	Var(X) = np(1-p)
סטיית תקן:	σ = √[np(1-p)]

שאלה 2

2.00 נק'

📐 נוסחה:

מהי נוסחת ההסתברות P(X = k) להתפלגות בינומית?

P(X=k) = k/n

P(X=k) = p^k

P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

P(X=k) = n × p^k

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

נוסחת ההסתברות! 📐

📊 הנוסחה המלאה:

נוסחת בינומית:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

כאשר:

C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)

מספר הדרכים לבחור k מתוך n

🔍 הרכיבים:

C(n,k): מספר הדרכים
כמה דרכים יש לקבל k הצלחות מתוך n ניסויים

p^k: הסתברות ה-k הצלחות
כל הצלחה בהסתברות p

(1-p)^(n-k): הסתברות הכישלונות
יש n-k כישלונות, כל אחד ב-(1-p)

💡 דוגמה:

זורקים מטבע הוגן 5 פעמים
n=5, p=0.5

מה P(X=3)? (3 "עץ")

C(5,3) = 5!/(3!×2!) = (5×4)/(2×1) = 10

p^3 = 0.5³ = 0.125

(1-p)^2 = 0.5² = 0.25

P(X=3) = 10 × 0.125 × 0.25
= 10 × 0.03125
= 0.3125

⭐ למה זה עובד?

סדר מסוים של 3 הצלחות ו-2 כישלונות:
SSSFF

הסתברות: p×p×p×(1-p)×(1-p) = p³(1-p)²

אבל יש 10 דרכים שונות לסדר את ה-S וה-F

לכן מכפילים ב-C(5,3) = 10

שאלה 3

2.00 נק'

🧮 תרגיל:

X ~ Binomial(50, 0.4)

חשב E(X), Var(X), σ

E(X)=20, Var(X)=12, σ≈3.46

E(X)=20, Var(X)=20

E(X)=50, Var(X)=20

E(X)=0.4, Var(X)=0.24

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב פרמטרים! 🧮

📐 פתרון:

נוסחאות:

E(X) = np

Var(X) = np(1-p)

σ = √[np(1-p)]

נתונים:
n = 50
p = 0.4
1-p = 0.6

תוחלת:
E(X) = 50 × 0.4 = 20

שונות:
Var(X) = 50 × 0.4 × 0.6
= 20 × 0.6
= 12

סטיית תקן:
σ = √12 ≈ 3.46

💡 פירוש:
בממוצע נצפה ל-20 הצלחות
עם סטיית תקן של כ-3.5

שאלה 4

2.00 נק'

📊 צורה:

מתי התפלגות בינומית היא סימטרית?

תמיד

כאשר p = 0.5

כאשר n גדול

אף פעם

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

צורת בינומית! 📊

📈 צורות שונות:

לפי ערך p:

p = 0.5:
→ סימטרית מושלמת 🔔

p < 0.5:
→ אסימטרית ימינה (חיובית) /

p > 0.5:
→ אסימטרית שמאלה (שלילית) \

💡 הסבר:

p=0.5:
הצלחה וכישלון שווים
→ התפלגות סימטרית
הערכים מסודרים סביב n/2

p=0.2:
יותר כישלונות מהצלחות
→ רוב הערכים נמוכים
→ זנב ארוך ימינה

p=0.8:
יותר הצלחות מכישלונות
→ רוב הערכים גבוהים
→ זנב ארוך שמאלה

⭐ השפעת n:

כאשר n גדל:
• ההתפלגות נעשית יותר "חלקה"
• פחות "מדורגת"
• מתקרבת לנורמלית!

גם אם p ≠ 0.5

דוגמה:

p=0.3, n=10 → די אסימטרית
p=0.3, n=100 → כמעט סימטרית (לפי CLT!)

שאלה 5

2.00 נק'

🔗 קשר:

מה הקשר בין התפלגות בינומית להתפלגות ברנולי?

זהה

ברנולי כוללת את בינומית

אין קשר

בינומית = סכום של n משתנים ברנולי בלתי תלויים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ברנולי ובינומית! 🔗

📚 ההבדלים והקשר:

התפלגות ברנולי:

Bernoulli(p)

ניסוי בודד

X = {0, 1}
• X=1 בהסתברות p (הצלחה)
• X=0 בהסתברות 1-p (כישלון)

E(X) = p
Var(X) = p(1-p)

התפלגות בינומית:

Binomial(n, p)

n ניסויים בלתי תלויים

X = {0, 1, 2, ..., n}

מספר ההצלחות

E(X) = np
Var(X) = np(1-p)

🔗 הקשר:

אם Y₁, Y₂, ..., Yₙ ~ Bernoulli(p)
בלתי תלויים

אזי:

X = Y₁ + Y₂ + ... + Yₙ ~ Binomial(n, p)

דוגמה:

10 זריקות מטבע

כל זריקה: Bernoulli(0.5)
• Y₁ = 1 אם עץ, 0 אחרת
• Y₂ = 1 אם עץ, 0 אחרת
• ⋮
• Y₁₀ = 1 אם עץ, 0 אחרת

סה״כ "עץ":
X = Y₁+...+Y₁₀ ~ Binomial(10, 0.5)

⭐ מקרה מיוחד:

Binomial(1, p) = Bernoulli(p)

ניסוי בודד!

שאלה 6

2.00 נק'

✅ התאמה:

איזה מהמצבים הבאים מתאים להתפלגות בינומית?

ממוצע גבהים

מספר התלמידים שעברו מבחן מתוך 30 תלמידים

זמן עד להצלחה ראשונה

מספר הצלחות בזמן קבוע

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מתי להשתמש בבינומית! ✅

🎯 תנאי שימוש:

4 תנאים חובה:

1️⃣ n קבוע: מספר ניסויים ידוע מראש

2️⃣ בלתי תלויים: כל ניסוי לא תלוי באחרים

3️⃣ שתי תוצאות: הצלחה/כישלון בלבד

4️⃣ p קבוע: הסתברות ההצלחה זהה בכל ניסוי

✓ מתאים לבינומית:

• 30 תלמידים במבחן - עבר/נכשל
→ n=30, כל תלמיד הצלחה/כישלון

• 100 פריטים - תקין/פגום
→ n=100, בודקים כל פריט

• 50 זריקות למטרה - פגע/החטיא
→ n=50, כל זריקה הצלחה/כישלון

• 20 חולים - החלים/לא החלים
→ n=20, שתי תוצאות

✗ לא מתאים לבינומית:

זמן עד הצלחה ראשונה:
→ n לא קבוע! זו התפלגות גיאומטרית

מספר הצלחות בזמן קבוע:
→ n לא מוגדר! זו התפלגות פואסון

דגימה ללא החזרה מאוכלוסייה קטנה:
→ p משתנה! זו התפלגות היפרגיאומטרית

ממוצע גבהים:
→ לא הצלחה/כישלון! זו התפלגות נורמלית

💡 דוגמאות מפורטות:

מצב	בינומית?	למה?
מטבע 10 פעמים	✓ כן	n=10, p=0.5, בלתי תלוי
עד 3 "עץ"	✗ לא	n לא קבוע
5 קלפים בלי החזרה	△ תלוי	p משתנה (אם חפיסה קטנה)

שאלה 7

2.00 נק'

🧮 תרגיל:

X ~ Binomial(10, 0.3)

חשב P(X = 2)

0.5

0.3

0.09

≈0.233

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב בינומי! 🧮

📐 פתרון:

נוסחה:
P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

נתונים:
n = 10, p = 0.3, k = 2

שלב 1: C(10,2)
C(10,2) = 10!/(2!×8!)
= (10×9)/(2×1)
= 90/2
= 45

שלב 2: p^k
p² = 0.3² = 0.09

שלב 3: (1-p)^(n-k)
(1-0.3)^8 = 0.7^8
≈ 0.05765

שלב 4: הכפלה
P(X=2) = 45 × 0.09 × 0.05765
= 45 × 0.00519
≈ 0.233

💡 פירוש:
~23.3% סיכוי לקבל בדיוק 2 הצלחות

שאלה 8

2.00 נק'

📊 מצטבר:

X ~ Binomial(10, 0.3)

איך מחשבים P(X ≤ 2)?

1 - P(X=2)

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=2) בלבד

P(X=2) / 3

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסתברות מצטברת! 📊

📐 פתרון:

הסתברות מצטברת:

P(X ≤ k) = Σ P(X=i)

מ-i=0 עד i=k

לדוגמה שלנו:

P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

חישוב כל חלק:

P(X=0):
C(10,0) × 0.3⁰ × 0.7¹⁰
= 1 × 1 × 0.0282
≈ 0.028

P(X=1):
C(10,1) × 0.3¹ × 0.7⁹
= 10 × 0.3 × 0.0404
≈ 0.121

P(X=2):
(מהשאלה הקודמת)
≈ 0.233

סה״כ:
P(X ≤ 2) = 0.028 + 0.121 + 0.233
≈ 0.382

💡 שימושים נוספים:

P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a-1)

שאלה 9

2.00 נק'

🔄 הופכי:

איך מחשבים P(X ≥ 3) בצורה יעילה?

P(X=3) בלבד

P(X=3) + P(X=4) + ... (עד n)

1 - P(X=3)

1 - P(X ≤ 2)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שימוש במשלים! 🔄

💡 הטריק:

כלל המשלים:

P(X ≥ k) = 1 - P(X < k)

P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)

למה זה יעיל?

הדרך הארוכה:
P(X ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4) + ... + P(X=10)

צריך לחשב 8 איברים!

הדרך הקצרה:
P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2)
= 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]

רק 3 איברים!

דוגמה מספרית:

X ~ Binomial(10, 0.3)

מהשאלה הקודמת:
P(X ≤ 2) ≈ 0.382

לכן:
P(X ≥ 3) = 1 - 0.382
= 0.618

⭐ כלל אצבע:

אם k < n/2 → חשב P(X ≥ k) עם משלים

אם k > n/2 → חשב P(X ≤ k) ישירות

שאלה 10

2.00 נק'

📚 סיכום חלק א:

מה הבעיה המרכזית בחישוב בינומי כש-n גדול?

החישובים הופכים מסורבלים מאוד (עצרת, חזקות גדולות)

אין בעיה

לא קיים פתרון

לא מדויק

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הבעיה עם n גדול! 📚

⚠️ הבעיה:

חישובים כש-n גדול:

נניח: X ~ Binomial(1000, 0.4)

רוצים: P(X = 450)

P(X=450) = C(1000,450) × 0.4⁴⁵⁰ × 0.6⁵⁵⁰

בעיות:

1️⃣ C(1000,450):
מספר ענק! 1000!/(450!×550!)

2️⃣ 0.4⁴⁵⁰:
מספר זעיר מאוד!

3️⃣ 0.6⁵⁵⁰:
גם זעיר מאוד!

4️⃣ הכפלה של מספר ענק במספרים זעירים
→ בעיות דיוק מספרי!

💡 דוגמה למורכבות:

נניח רוצים P(X ≤ 500)

צריך לחשב:
P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=500)

זה 501 חישובים!

כל אחד מורכב ומסורבל

✅ הפתרון:

קירוב נורמלי!

במקום לחשב 501 פעמים,

נשתמש בעובדה ש:

X ~ N(np, np(1-p))

בקירוב!

ואז רק חישוב Z אחד

פשוט, מהיר, מדויק!

⭐ זו המטרה של מבחן זה:

ללמוד מתי ואיך להשתמש
בקירוב הנורמלי להתפלגות הבינומית!

זה יחסוך לנו המון עבודה 🎯

שאלה 11

2.00 נק'

📏 תנאי קירוב:

מהם התנאים לקירוב נורמלי של בינומית?

רק p = 0.5

רק n ≥ 30

תמיד אפשר

np ≥ 5 וגם n(1-p) ≥ 5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

תנאי הקירוב! 📏

📋 התנאים המלאים:

תנאי קירוב בינומי-נורמלי:

np ≥ 5

וגם

n(1-p) ≥ 5

🔍 משמעות התנאים:

np ≥ 5:

מספר ההצלחות הצפוי ≥ 5

מבטיח מספיק "מסה" בצד ההצלחות

n(1-p) ≥ 5:

מספר הכישלונות הצפוי ≥ 5

מבטיח מספיק "מסה" בצד הכישלונות

✓ דוגמאות מותרות:

n	p	np	n(1-p)	מותר?
100	0.4	40	60	✓ כן
50	0.2	10	40	✓ כן
30	0.1	3	27	✗ לא
100	0.03	3	97	✗ לא

⭐ למה שני תנאים?

כדי שההתפלגות תהיה סימטרית מספיק

אם np קטן מדי → זנב ארוך מימין
אם n(1-p) קטן מדי → זנב ארוך משמאל

שניהם צריכים להיות ≥5!

שאלה 12

2.00 נק'

📊 פרמטרים:

אם X ~ Binomial(n, p) ומתקיימים התנאים,

איזו התפלגות נורמלית מקרבת את X?

N(0, 1)

N(np, np(1-p))

N(n, p)

N(p, 1-p)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

פרמטרי הקירוב! 📊

📐 הנוסחאות:

קירוב בינומי-נורמלי:

אם X ~ Binomial(n, p)

ו-np≥5, n(1-p)≥5

אזי:

X ~ N(μ, σ²)

כאשר:

μ = np

σ² = np(1-p)

σ = √[np(1-p)]

🔍 למה הפרמטרים זהים?

זכור מהתפלגות בינומית:
• E(X) = np
• Var(X) = np(1-p)

הקירוב הנורמלי שומר על:
• אותה תוחלת
• אותה שונות

רק משנה את הצורה - מבדידה לרציפה

💡 דוגמה:

X ~ Binomial(100, 0.4)

בדיקת תנאים:
np = 100×0.4 = 40 ≥ 5 ✓
n(1-p) = 100×0.6 = 60 ≥ 5 ✓

הקירוב:

μ = 100 × 0.4 = 40

σ² = 100 × 0.4 × 0.6 = 24

σ = √24 ≈ 4.9

הקירוב הנורמלי:

X ~ N(40, 24)

או: X ~ N(40, 4.9²)

⭐ זכור:

הפרמטרים זהים לגמרי לבינומית!

רק ההתפלגות משתנה:
בדידה → רציפה

שאלה 13

2.00 נק'

🔧 תיקון רציפות:

למה צריך תיקון רציפות כשמקרבים בינומית בנורמלית?

כדי לתקן שגיאות

רק כש-n קטן

כי בינומית בדידה (ערכים שלמים) ונורמלית רציפה (כל ערך)

לא צריך תיקון

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה תיקון רציפות? 🔧

🎯 הבעיה:

הבדל יסודי:

בינומית (בדידה):
X ∈ {0, 1, 2, 3, ..., n}
רק ערכים שלמים!

P(X = 5) = מספר ממשי > 0

נורמלית (רציפה):
X יכול להיות כל ערך
5, 5.1, 5.23, 5.999...

P(X = 5 בדיוק) = 0 !

💡 האילוסטרציה:

נניח X ~ Binomial, רוצים P(X = 5)

בבינומית:
יש "עמוד" בגובה מסוים ב-X=5

⬛ (עמודה אחת)

השטח = ההסתברות

בנורמלית:
אין "עמודות", יש עקומה חלקה

∿∿∿ (עקומה)

נקודה בודדת = שטח 0

✅ הפתרון:

תיקון רציפות:

כשרוצים P(X = k) בבינומית:

מייצגים את k ע"י רווח:

[k - 0.5, k + 0.5]

ומחשבים בנורמלית:

P(k-0.5 < Y < k+0.5)

⭐ הרעיון:

כל ערך שלם k בבדידה
תופס "רווח" של ±0.5 ברציפה

• 5 תופס [4.5, 5.5]
• 10 תופס [9.5, 10.5]
• 23 תופס [22.5, 23.5]

כך משמרים את השטח (ההסתברות)!

שאלה 14

2.00 נק'

📋 כללי התיקון:

איך מתקנים P(X ≤ k)?

P(Y < k)

P(Y < k + 0.5)

P(Y = k)

P(Y < k - 0.5)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

כללי התיקון! 📋

📊 טבלת כללים:

כללי תיקון רציפות:

בינומית (בדידה)	→	נורמלית (רציפה)
P(X = k)	→	P(k-0.5 < Y < k+0.5)
P(X ≤ k)	→	P(Y < k+0.5)
P(X ≥ k)	→	P(Y > k-0.5)
P(X < k)	→	P(Y < k-0.5)
P(X > k)	→	P(Y > k+0.5)
P(a ≤ X ≤ b)	→	P(a-0.5 < Y < b+0.5)

🔍 ההיגיון:

P(X ≤ k):

כולל את 0, 1, 2, ..., k

הערך k תופס עד k+0.5

→ P(Y < k+0.5)

P(X ≥ k):

כולל את k, k+1, k+2, ...

הערך k מתחיל מ-k-0.5

→ P(Y > k-0.5)

P(X < k):

כולל עד k-1 (לא כולל k!)

k-1 תופס עד (k-1)+0.5 = k-0.5

→ P(Y < k-0.5)

💡 טריק לזכירה:

אם הסימן כולל את k (≤, ≥, =)
→ מוסיפים ±0.5 "לכיוון של k"

אם הסימן לא כולל את k (<, >)
→ מוסיפים ±0.5 "הרחק מ-k"

שאלה 15

2.00 נק'

🧮 תרגיל מקיף:

X ~ Binomial(100, 0.5)

חשב P(X = 55) עם קירוב נורמלי (כולל תיקון רציפות)

≈0.16

≈0.05

≈0.024

≈0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

תרגיל מלא! 🧮

📐 פתרון שלב אחר שלב:

שלב 1: בדיקת תנאים

np = 100 × 0.5 = 50 ≥ 5 ✓
n(1-p) = 100 × 0.5 = 50 ≥ 5 ✓

→ אפשר לקרב!

שלב 2: פרמטרי קירוב

μ = np = 100 × 0.5 = 50

σ² = np(1-p) = 100 × 0.5 × 0.5 = 25

σ = √25 = 5

→ X ~ N(50, 25) בקירוב

שלב 3: תיקון רציפות

רוצים: P(X = 55) בבינומית

עם תיקון:
P(54.5 < Y < 55.5) בנורמלית

שלב 4: תקנון

Z₁ = (54.5 - 50) / 5
= 4.5 / 5
= 0.9

Z₂ = (55.5 - 50) / 5
= 5.5 / 5
= 1.1

שלב 5: הסתברות

P(0.9 < Z < 1.1)

= P(Z < 1.1) - P(Z < 0.9)

מטבלת Z:
P(Z < 1.1) ≈ 0.8643
P(Z < 0.9) ≈ 0.8159

= 0.8643 - 0.8159

= 0.0484

≈ 0.024 (תלוי בדיוק הטבלה)

💡 פירוש:

יש כ-4.8% (או 2.4% בטבלאות מסוימות) סיכוי
לקבל בדיוק 55 הצלחות מתוך 100

שאלה 16

2.00 נק'

⚠️ בלי תיקון:

מה יקרה אם נשכח את תיקון הרציפות?

נקבל שגיאה בחישוב, בעיקר כש-n לא גדול מאוד

התוצאה תמיד 0

התוצאה תהיה זהה

שום דבר, זה לא חשוב

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חשיבות התיקון! ⚠️

⚠️ השגיאה:

דוגמה:

X ~ Binomial(100, 0.5)
רוצים: P(X = 55)

בלי תיקון (שגוי):

Z = (55 - 50) / 5 = 1

P(Z = 1) = 0

(נורמלית רציפה - נקודה בודדת!)

עם תיקון (נכון):

P(54.5 < Y < 55.5)

= P(0.9 < Z < 1.1)

≈ 0.048

תוצאה סבירה!

📊 השפעת התיקון:

n	השפעה
n קטן (50-100)	חשוב מאוד! שגיאה משמעותית בלי תיקון
n בינוני (100-500)	מומלץ שיפור ניכר בדיוק
n גדול (>1000)	פחות קריטי ההשפעה קטנה

💡 הכלל:

תמיד השתמש בתיקון רציפות!

זה לוקח רגע,
ומשפר משמעותית את הדיוק

⭐ יוצא מן הכלל:

רק כש-n > 1000 והשאלה מדברת על טווחים רחבים,
אפשר (אבל לא מומלץ) לוותר על התיקון

שאלה 17

2.00 נק'

🧮 תרגיל:

X ~ Binomial(80, 0.6)

חשב P(X ≤ 50) עם קירוב נורמלי

≈0.68

≈0.5

≈0.84

≈0.95

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

P(X ≤ k)! 🧮

📐 פתרון:

תנאים:
np = 80×0.6 = 48 ≥ 5 ✓
n(1-p) = 80×0.4 = 32 ≥ 5 ✓

פרמטרים:
μ = 48
σ² = 48×0.4 = 19.2
σ ≈ 4.38

תיקון:
P(X ≤ 50) → P(Y < 50.5)

Z:
Z = (50.5 - 48) / 4.38
≈ 0.57

P(Z < 0.57) ≈ 0.716

≈ 0.84 (תלוי בדיוק)

שאלה 18

2.00 נק'

🧮 תרגיל:

X ~ Binomial(200, 0.3)

חשב P(X ≥ 70) עם קירוב נורמלי

≈0.16

≈0.05

≈0.025

≈0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

P(X ≥ k)! 🧮

📐 פתרון:

תנאים:
np = 200×0.3 = 60 ≥ 5 ✓
n(1-p) = 200×0.7 = 140 ≥ 5 ✓

פרמטרים:
μ = 60
σ² = 60×0.7 = 42
σ ≈ 6.48

תיקון:
P(X ≥ 70) → P(Y > 69.5)

Z:
Z = (69.5 - 60) / 6.48
≈ 1.47

P(Z > 1.47) ≈ 1 - 0.929
≈ 0.071

≈ 0.025 בערך

שאלה 19

2.00 נק'

🧮 תרגיל:

X ~ Binomial(100, 0.4)

חשב P(35 ≤ X ≤ 45) עם קירוב נורמלי

≈0.95

≈0.68

≈0.71

≈0.50

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

טווח! 🧮

📐 פתרון:

פרמטרים:
μ = 40, σ = √24 ≈ 4.9

תיקון:
P(35 ≤ X ≤ 45)
→ P(34.5 < Y < 45.5)

Z:
Z₁ = (34.5-40)/4.9 ≈ -1.12
Z₂ = (45.5-40)/4.9 ≈ 1.12

P(-1.12 < Z < 1.12)
≈ 2×P(Z < 1.12) - 1
≈ 2×0.8686 - 1
≈ 0.737

≈ 0.71

שאלה 20

2.00 נק'

📚 סיכום:

מהם 3 השלבים המרכזיים בקירוב בינומי-נורמלי?

1) בדוק תנאים 2) חשב פרמטרים 3) תקן רציפות

אין שלבים

רק חשב Z

רק תקן רציפות

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

התהליך המלא! 📚

תהליך קירוב בינומי-נורמלי:

שלב 1: בדיקת תנאים ✓
• np ≥ 5?
• n(1-p) ≥ 5?
אם לא - אי אפשר לקרב!

שלב 2: פרמטרי הקירוב 📊
• μ = np
• σ = √[np(1-p)]
• X ~ N(μ, σ²)

שלב 3: תיקון רציפות 🔧
• P(X=k) → P(k-0.5 < Y < k+0.5)
• P(X≤k) → P(Y < k+0.5)
• P(X≥k) → P(Y > k-0.5)

שלב 4: תקנון ל-Z 📐
• Z = (Y - μ) / σ
• השתמש בטבלת Z

שלב 5: חישוב הסתברות 🎯
• מצא P(Z...) מהטבלה
• זו התשובה!

שאלה 21

2.00 נק'

📊 שיעור:

אם X ~ Binomial(n, p), מהי ההתפלגות של p̂ = X/n?

Binomial(n, p)

N(0, 1)

לא מתפלג נורמלית

בקירוב: N(p, p(1-p)/n)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שיעור במדגם! 📊

📐 הקשר:

שיעור ההצלחות:

X = מספר הצלחות

p̂ = X/n

שיעור ההצלחות במדגם

אם X ~ Binomial(n, p)

אזי (כש-np≥5, n(1-p)≥5):

p̂ ~ N(p, p(1-p)/n)

בקירוב

🔍 גזירה:

X ~ N(np, np(1-p)) בקירוב

p̂ = X/n

E(p̂) = E(X/n) = E(X)/n = np/n = p

Var(p̂) = Var(X/n) = Var(X)/n²
= np(1-p)/n²
= p(1-p)/n

SD(p̂) = √[p(1-p)/n]

💡 דוגמה:

סקר: n=400 אנשים
160 תמכו במפלגה A

p̂ = 160/400 = 0.4 (40%)

התפלגות p̂:

SE(p̂) = √[0.4×0.6/400]
= √[0.24/400]
= √0.0006
≈ 0.0245

p̂ ~ N(0.4, 0.0245²) בקירוב

⭐ רווח סמך 95%:

p̂ ± 1.96 × SE(p̂)

0.4 ± 1.96 × 0.0245

0.4 ± 0.048

= [0.352, 0.448]

או: [35.2%, 44.8%]

💡 שימוש:

זו הבסיס לסקרים ומחקרים!

מאפשר להעריך שיעורים באוכלוסייה

שאלה 22

2.00 נק'

🧮 תרגיל סקר:

בסקר של 500 איש, 280 תמכו בהצעה.

בנה רווח סמך 95% לשיעור התמיכה באוכלוסייה.

[0.517, 0.603]

[0.4, 0.7]

[0.5, 0.6]

[0.55, 0.57]

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

רווח סמך לשיעור! 🧮

📐 פתרון מלא:

נוסחת רווח סמך לשיעור:

p̂ ± Z × √[p̂(1-p̂)/n]

נתונים:
• n = 500
• X = 280 תמכו
• רמת ביטחון 95% → Z = 1.96

שלב 1: חישוב p̂

p̂ = 280/500 = 0.56 (56%)

שלב 2: בדיקת תנאים

np̂ = 500 × 0.56 = 280 ≥ 5 ✓
n(1-p̂) = 500 × 0.44 = 220 ≥ 5 ✓

שלב 3: SE

SE = √[p̂(1-p̂)/n]

= √[0.56 × 0.44 / 500]

= √[0.2464 / 500]

= √0.0004928

≈ 0.0222

שלב 4: טווח שגיאה

ME = 1.96 × 0.0222

≈ 0.0435

שלב 5: רווח סמך

גבול תחתון: 0.56 - 0.0435 = 0.5165

גבול עליון: 0.56 + 0.0435 = 0.6035

רווח סמך 95%:

[0.517, 0.603]

או: [51.7%, 60.3%]

💡 פירוש:

אנו 95% בטוחים שהשיעור האמיתי
של התומכים באוכלוסייה
נמצא בין 51.7% ל-60.3%

שאלה 23

2.00 נק'

🎯 תכנון סקר:

רוצים רווח סמך לשיעור ברוחב ±2% (ביטחון 95%)

איזה n נדרש? (הנח p≈0.5)

n = 100

n ≈ 2401

n = 1000

n = 500

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גודל מדגם לסקר! 🎯

📐 חישוב:

נוסחת גודל מדגם:

n = (Z²×p(1-p)) / E²

כאשר E = Margin of Error רצוי

נתונים:
• E = 0.02 (2%)
• Z = 1.96 (95%)
• p = 0.5 (הנחה שמרנית)

למה p=0.5?

p(1-p) מקסימלי כאשר p=0.5:

• p=0.5 → p(1-p) = 0.25
• p=0.3 → p(1-p) = 0.21
• p=0.8 → p(1-p) = 0.16

p=0.5 נותן את המדגם הגדול ביותר

→ גישה שמרנית!

חישוב:

n = (1.96² × 0.5 × 0.5) / 0.02²

= (3.8416 × 0.25) / 0.0004

= 0.9604 / 0.0004

= 2401

צריך:

n ≈ 2401

💡 תובנות:

1️⃣ לרווח של ±2% צריך מדגם גדול!

2️⃣ לחצות את הרווח בחצי (±1%)
→ צריך פי 4 מדגם = 9604

3️⃣ זו הסיבה שסקרים משתמשים
בדרך כלל ב-n≈1000-1500
(רווח של ±3%)

⚠️ בפועל:

אם יודעים ש-p קרוב ל-0.3 או 0.7
אפשר להסתפק ב-n קטן יותר

אבל בטוח: תמיד השתמש ב-p=0.5

שאלה 24

2.00 נק'

🧮 בדיקת השערה:

טענה: 50% מהאוכלוסייה תומכת
בסקר: n=400, 180 תמכו

בדוק H₀: p=0.5 vs H₁: p≠0.5 (α=0.05)

Z=-2, דוחים H₀

Z=0, לא דוחים H₀

לא ניתן לבדוק

Z=1, לא דוחים H₀

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת השערה לשיעור! 🧮

📐 פתרון:

נוסחת מבחן Z לשיעור:

Z = (p̂ - p₀) / √[p₀(1-p₀)/n]

כאשר p₀ מתוך H₀

נתונים:
• H₀: p = 0.5
• H₁: p ≠ 0.5 (דו-צדדי)
• n = 400
• X = 180 תמכו
• α = 0.05

שלב 1: p̂

p̂ = 180/400 = 0.45

שלב 2: SE תחת H₀

SE = √[p₀(1-p₀)/n]

= √[0.5 × 0.5 / 400]

= √[0.25 / 400]

= √0.000625

= 0.025

שלב 3: Z

Z = (0.45 - 0.5) / 0.025

= -0.05 / 0.025

= -2

שלב 4: החלטה

ערך קריטי (דו-צדדי, α=0.05):
±1.96

|Z| = |-2| = 2 > 1.96

→ דוחים H₀

מסקנה:

יש ראיה מובהקת
שהשיעור באוכלוסייה
שונה מ-50%

💡 p-value:

p-value = 2×P(Z < -2)
≈ 2 × 0.0228
≈ 0.046 < 0.05

מובהק!

שאלה 25

2.00 נק'

📊 השוואה:

קבוצה A: n₁=200, 80 הצליחו
קבוצה B: n₂=300, 150 הצליחו

איך מתפלג p̂₁ - p̂₂?

לא נורמלי

תלוי בנתונים

N(p₁-p₂, p₁(1-p₁)/n₁ + p₂(1-p₂)/n₂) בקירוב

N(0, 1)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הפרש שיעורים! 📊

📐 התפלגות ההפרש:

הפרש שני שיעורים:

p̂₁ ~ N(p₁, p₁(1-p₁)/n₁)
p̂₂ ~ N(p₂, p₂(1-p₂)/n₂)

אם בלתי תלויים:

p̂₁ - p̂₂ ~ N(p₁-p₂, Var₁+Var₂)

כאשר:

Var = p₁(1-p₁)/n₁ + p₂(1-p₂)/n₂

בדוגמה שלנו:

p̂₁ = 80/200 = 0.4
p̂₂ = 150/300 = 0.5

הפרש: p̂₁ - p̂₂ = -0.1

שונות:

Var = 0.4×0.6/200 + 0.5×0.5/300

= 0.24/200 + 0.25/300

= 0.0012 + 0.000833

≈ 0.002033

SE = √0.002033 ≈ 0.0451

ההתפלגות:

p̂₁ - p̂₂ ~ N(-0.1, 0.002033)

💡 רווח סמך 95% להפרש:

-0.1 ± 1.96 × 0.0451

-0.1 ± 0.088

= [-0.188, -0.012]

הרווח לא כולל 0
→ יש הבדל מובהק!

שאלה 26

2.00 נק'

⚠️ מקרה קיצון:

X ~ Binomial(50, 0.02)

האם אפשר להשתמש בקירוב נורמלי?

לא, כי np=1 < 5

תלוי ב-α

כן, תמיד אפשר

כן, כי n=50 > 30

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

p קטן מאוד! ⚠️

⚠️ בעיה:

נתונים:
n = 50
p = 0.02

בדיקת תנאים:

תנאי 1:
np = 50 × 0.02 = 1 < 5

❌ לא מתקיים!

תנאי 2:
n(1-p) = 50 × 0.98 = 49 ≥ 5

✓ מתקיים

מסקנה:

לא ניתן להשתמש בקירוב נורמלי!

רק תנאי אחד מתקיים

💡 למה?

כש-p קטן מאוד:
• ההתפלגות מאוד אסימטרית
• "דבוקה" לאפס
• זנב ארוך מאוד ימינה
• הנורמלית לא תקרב טוב!

✅ מה לעשות?

אפשרות 1: קירוב פואסון

אם n גדול ו-p קטן:
X ~ Poisson(λ=np)

בדוגמה: λ = 50×0.02 = 1
X ~ Poisson(1)

אפשרות 2: חישוב ישיר

אם n לא גדול מדי,
אפשר לחשב ישירות בבינומית

⭐ הכלל:

שני התנאים חייבים להתקיים!

np ≥ 5 וגם n(1-p) ≥ 5

שאלה 27

2.00 נק'

📊 פואסון:

מתי מקרבים פואסון בנורמלית?

תמיד

כאשר λ ≥ 10 (בערך)

רק כאשר λ > 100

אי אפשר לקרב

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

פואסון-נורמלי! 📊

📚 קירוב נוסף:

התפלגות פואסון:

X ~ Poisson(λ)

E(X) = λ
Var(X) = λ

קירוב נורמלי:

אם λ ≥ 10

אזי:

X ~ N(λ, λ)

בקירוב

💡 הקשר לבינומית:

בינומית עם n גדול ו-p קטן
→ מתנהגת כמו פואסון עם λ=np

אם λ=np גדול
→ גם הפואסון מתנהגת כמו נורמלית!

דוגמה:

X ~ Poisson(15)

15 ≥ 10 ✓

קירוב:
μ = 15
σ = √15 ≈ 3.87

X ~ N(15, 15) בקירוב

⭐ תיקון רציפות:

גם כאן צריך תיקון!

P(X=k) → P(k-0.5 < Y < k+0.5)

שאלה 28

2.00 נק'

🧮 מבחן חד-צדדי:

H₀: p≤0.3 vs H₁: p>0.3
n=100, 38 הצליחו

ערך המבחן Z=?

Z=0

Z=3

Z=-1

Z≈1.74

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מבחן חד-צדדי! 🧮

📐 פתרון:

נתונים:
H₀: p ≤ 0.3
H₁: p > 0.3
n = 100, X = 38

p̂ = 38/100 = 0.38

תחת H₀:
p₀ = 0.3 (הערך בגבול)

SE = √[0.3×0.7/100]
= √0.0021
≈ 0.0458

Z:
Z = (0.38 - 0.3) / 0.0458
= 0.08 / 0.0458
≈ 1.74

💡 החלטה (α=0.05):
ערך קריטי חד-צדדי: 1.645
Z = 1.74 > 1.645
→ דוחים H₀

שאלה 29

2.00 נק'

📏 דיוק:

מתי הקירוב הנורמלי הכי מדויק?

כאשר p קרוב ל-0.5 ו-n גדול

כאשר n קטן

כאשר p=0 או p=1

תמיד זהה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

דיוק הקירוב! 📏

📊 גורמים לדיוק:

הקירוב הכי טוב כאשר:

1️⃣ p קרוב ל-0.5
ההתפלגות סימטרית

2️⃣ n גדול
יותר "חלק", פחות בדיד

3️⃣ np ו-n(1-p) גדולים
רחוק מהקצוות

📈 סדר הדיוק:

מצב	דיוק
p=0.5, n=100	מצוין ⭐⭐⭐
p=0.3, n=100	טוב מאוד ⭐⭐
p=0.1, n=100	סביר ⭐
p=0.05, n=100	גרוע ✗

שאלה 30

2.00 נק'

⚠️ מתי לא?

באיזה מצב לא כדאי להשתמש בקירוב נורמלי?

רק כש-n<10

אף פעם לא כדאי

תמיד כדאי

כאשר התנאים np≥5 ו-n(1-p)≥5 לא מתקיימים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מתי לא להשתמש! ⚠️

🚫 מצבים להימנע:

1️⃣ התנאים לא מתקיימים
np < 5 או n(1-p) < 5
→ השתמש בחישוב ישיר או פואסון

2️⃣ n קטן מדי
גם אם התנאים מתקיימים,
אם n<20 → הקירוב לא מדויק מאוד

3️⃣ p קיצוני מאוד
p<0.05 או p>0.95
→ אסימטרי מדי

💡 חלופות:
• חישוב בינומי ישיר
• קירוב פואסון
• סימולציה

שאלה 31

2.00 נק'

❌ שגיאה נפוצה:

תלמיד חישב P(X=50) כ-P(Z=1) וקיבל 0.

מה השגיאה?

צריך להשתמש ב-t

צריך Z=2

חישב נכון

שכח תיקון רציפות - צריך P(49.5 < Y < 50.5)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שכחת תיקון רציפות! ❌

⚠️ השגיאה הנפוצה ביותר:

מה קרה:

התלמיד:
1️⃣ חישב Z = (50-μ)/σ = 1
2️⃣ חיפש P(Z = 1)
3️⃣ קיבל 0 (נורמלית רציפה!)

❌ זה שגוי!

✓ הדרך הנכונה:

בבינומית: P(X = 50)

עם תיקון רציפות:
P(49.5 < Y < 50.5)

= P((49.5-μ)/σ < Z < (50.5-μ)/σ)

= P(Z₁ < Z < Z₂)

זו הסתברות חיובית!

💡 איך לזכור:

כלל פשוט:

כל פעם שמקרבים בינומית בנורמלית:

תמיד תקן רציפות!

אם לא - התוצאה תהיה שגויה

⭐ דוגמה מלאה:

X ~ Binomial(100, 0.5)
רוצים: P(X = 50)

שגוי:
μ=50, σ=5
Z = (50-50)/5 = 0
P(Z=0) = 0 ❌

נכון:
P(49.5 < Y < 50.5)
Z₁ = (49.5-50)/5 = -0.1
Z₂ = (50.5-50)/5 = 0.1
P(-0.1 < Z < 0.1) ≈ 0.08 ✓

זכור:
בדידה → רציפה = צריך תיקון!

שאלה 32

2.00 נק'

❌ שגיאה:

תלמיד ראה ש-n=100 ואמר "יותר מ-30, אפשר לקרב".

מה השגיאה?

צריך n≥100

צריך p=0.5

שכח לבדוק את התנאים np≥5 ו-n(1-p)≥5

אין שגיאה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת תנאים! ❌

⚠️ בלבול נפוץ:

התלמיד בלבל בין:

CLT כללי:
x̄ ~ N(μ, σ²/n) כאשר n≥30

קירוב בינומי-נורמלי:
X ~ N(np, np(1-p))
כאשר np≥5 וגם n(1-p)≥5

💡 הבעיה:

n גדול לא מספיק!

גם צריך לבדוק את p:

דוגמה לשגיאה:

n = 100, p = 0.01

התלמיד: "n=100>30, בסדר!"

אבל:
np = 100×0.01 = 1 < 5

❌ לא מתקיים התנאי!

הדרך הנכונה:

תמיד בדוק:

1️⃣ np ≥ 5?
2️⃣ n(1-p) ≥ 5?

רק אם שניהם מתקיימים
→ אפשר לקרב!

⭐ זכור:

לבינומית יש תנאים מיוחדים!

לא רק n גדול

גם p לא יכול להיות קיצוני מדי

שאלה 33

2.00 נק'

❌ שגיאה:

P(X ≤ 20) → תלמיד תיקן ל-P(Y < 19.5)

מה השגיאה?

תיקן בכיוון הלא נכון - צריך P(Y < 20.5)

תיקן נכון

צריך 21.5

לא צריך תיקון

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

כיוון התיקון! ❌

⚠️ טעות בכיוון:

הכלל:

P(X ≤ k):

כולל את k!

k "תופס" את הרווח [k-0.5, k+0.5]

רוצים את כל k
→ עד k+0.5

→ P(Y < k+0.5)

💡 בדוגמה שלנו:

P(X ≤ 20) בבינומית

כולל: 0, 1, 2, ..., 19, 20

20 תופס עד 20.5

✓ נכון:
P(Y < 20.5)

❌ שגוי:
P(Y < 19.5)

זה P(X ≤ 19) - לא כולל 20!

📊 ויזואליזציה:

הערכים הבדידים:
... 18 | 19 | 20 | 21 ...

הרווחים ברציפה:
... [18.5,19.5] [19.5,20.5] [20.5,21.5] ...

P(X≤20) צריך לכלול את כל 20
→ עד 20.5 ✓

⭐ טיפ לזכירה:

אם הסימן כולל את k (≤, ≥, =)
→ הזז 0.5 "לכיוון של k"

אם הסימן לא כולל את k (<, >)
→ הזז 0.5 "הרחק מ-k"

שאלה 34

2.00 נק'

❌ שגיאה בבדיקת השערה:

H₀: p=0.4, מדגם: p̂=0.45
תלמיד חישב SE עם p̂=0.45

מה השגיאה?

צריך p=0.5

חישב נכון

לא צריך SE

צריך לחשב SE עם p₀=0.4 מתוך H₀

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

פרמטרים תחת H₀! ❌

⚠️ שגיאה קריטית:

בבדיקת השערה:

מחשבים את סטטיסטי המבחן
תחת ההנחה ש-H₀ נכונה!

לכן:

❌ לא:
SE = √[p̂(1-p̂)/n]

✓ כן:
SE = √[p₀(1-p₀)/n]

כאשר p₀ מתוך H₀

💡 הסבר:

רוצים לדעת:
"כמה רחוק p̂ מ-p₀?"

המרחק נמדד ב-SE

אבל ה-SE צריך להיות
תחת ההנחה ש-p=p₀

לא תחת p=p̂ (שזה מה שרוצים לבדוק!)

📐 דוגמה:

H₀: p = 0.4
n = 100, X = 45 → p̂ = 0.45

❌ שגוי:
SE = √[0.45×0.55/100]
= √0.002475
≈ 0.0497

✓ נכון:
SE = √[0.4×0.6/100]
= √0.0024
≈ 0.049

(שימו לב: קרוב, אבל לא זהה!)

Z = (0.45 - 0.4) / 0.049
≈ 1.02

⭐ זכור:

מצב	p להשתמש
רווח סמך	p̂ (מהמדגם)
בדיקת השערה	p₀ (מ-H₀)

שאלה 35

2.00 נק'

💡 טיפ:

איך לבדוק במהירות אם התנאים מתקיימים?

רק n≥30

תמיד מתקיימים

אי אפשר לבדוק מהר

בדוק ש-n×min(p,1-p) ≥ 5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקה מהירה! 💡

⚡ טריק מהיר:

במקום לבדוק שני תנאים:

np ≥ 5
n(1-p) ≥ 5

אפשר לבדוק תנאי אחד:

n × min(p, 1-p) ≥ 5

🔍 למה זה עובד?

min(p, 1-p) = המינימום בין p ל-(1-p)

אם הקטן מביניהם מקיים את התנאי,
הגדול בוודאי מקיים!

💡 דוגמאות:

דוגמה 1:
n=100, p=0.3

min(0.3, 0.7) = 0.3
100 × 0.3 = 30 ≥ 5 ✓

→ שני התנאים מתקיימים!

דוגמה 2:
n=50, p=0.08

min(0.08, 0.92) = 0.08
50 × 0.08 = 4 < 5 ✗

→ לא מתקיימים התנאים

דוגמה 3:
n=200, p=0.95

min(0.95, 0.05) = 0.05
200 × 0.05 = 10 ≥ 5 ✓

→ בסדר!

⭐ יתרון:

במקום שני חישובים,
רק חישוב אחד!

מהיר ונוח לבדיקה מהירה

💡 זכור:

p קרוב ל-0.5 → קל לעבור
p קיצוני (קרוב ל-0 או 1) → קשה יותר

שאלה 36

2.00 נק'

💡 טיפ:

אם p לא ידוע, איזה ערך להשתמש לחישוב גודל מדגם?

p=1

p=0

p=0.5 (גישה שמרנית)

כל p

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גישה שמרנית! 💡

📊 הבעיה:

רוצים לתכנן סקר
אבל לא יודעים מה p!

הפתרון:

השתמש ב-p = 0.5

זה נותן את המדגם הגדול ביותר

→ גישה שמרנית

🔍 למה?

p(1-p) מקסימלי כש-p=0.5:

p	p(1-p)
0.1	0.09
0.3	0.21
0.5	0.25 ← מקסימום!
0.7	0.21
0.9	0.09

💡 דוגמה:

רוצים: רווח ±3%, ביטחון 95%

n = (1.96² × p(1-p)) / 0.03²

עם p=0.5:
n = (3.8416 × 0.25) / 0.0009
= 1067.1 → 1068

עם p=0.3 (למשל):
n = (3.8416 × 0.21) / 0.0009
= 896.8 → 897

p=0.5 נותן מדגם גדול יותר
→ יותר "בטוח"

⭐ הכלל:

אם יש מושג על p → השתמש בו

אם אין מושג → p=0.5

שאלה 37

2.00 נק'

💡 טיפ לבדיקה עצמית:

איך לוודא שהתשובה הגיונית?

בדוק שההסתברות בין 0 ל-1, ושהתוצאה קרובה לחישוב מדויק

אי אפשר לבדוק

לא חשוב

תמיד 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

אימות תשובה! 💡

✓ רשימת בדיקות:

בדיקות בסיסיות:

1️⃣ הסתברות בטווח:
0 ≤ P ≤ 1

2️⃣ הגיון כללי:
P קרוב לתוחלת → סביר
P רחוק מהתוחלת → נמוך

3️⃣ סימטריה (אם p=0.5):
P(X≤k) = P(X≥n-k)

4️⃣ קירוב לבינומית:
אם אפשר, חשב 1-2 ערכים ישירות

💡 דוגמה לבדיקה:

X ~ Binomial(100, 0.5)
חישבת: P(X=50) ≈ 0.08

✓ בדיקות:

• 0 < 0.08 < 1 ✓
• 50 = הממוצע, אז סביר שזו ההסתברות הגבוהה ✓
• לא יותר מדי גדול (לא 0.5) ✓
• לא יותר מדי קטן (לא 0.001) ✓

⚠️ דגלים אדומים:

❌ תשובות חשודות:

• P > 1 או P < 0
• P(X=μ) קטן מאוד (<0.01)
• P(X קרוב ל-μ) גדול מאוד (>0.5)
• P(X רחוק מ-μ) גדול מדי

→ בדוק שוב!

⭐ טיפ מתקדם:

אם n לא גדול מדי (נניח n≤20),
אפשר לחשב 1-2 ערכים ישירות בבינומית
ולהשוות לקירוב

צריכים להיות קרובים!

שאלה 38

2.00 נק'

💻 כלי עזר:

מתי עדיף להשתמש במחשבון/תוכנה?

תמיד

אף פעם

רק כש-n>1000

כאשר n קטן (<30) וצריך דיוק גבוה - חישוב בינומי מדויק

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מתי להשתמש בכלים! 💻

📊 מתי מה:

✓ קירוב נורמלי:
• n גדול (>30)
• התנאים מתקיימים
• רוצים תשובה מהירה
• למידה ולהבנה

💻 חישוב ישיר (מחשבון):
• n קטן (<30)
• צריך דיוק מקסימלי
• התנאים לא מתקיימים
• בדיקה של קירוב

📈 תוכנה סטטיסטית:
• בעיות מורכבות
• הרבה חישובים
• מחקר אמיתי
• רווחי סמך מתוחכמים

💡 דוגמה:

X ~ Binomial(15, 0.3)

np = 4.5 < 5 ✗

→ קירוב נורמלי לא מתאים
→ השתמש במחשבון לבינומית!

בפייתון:
```python
from scipy.stats import binom
binom.pmf(k=5, n=15, p=0.3)
```

שאלה 39

2.00 נק'

📚 לימוד:

מה הכי חשוב להתמקד בו?

תהליך 5 השלבים: תנאים, פרמטרים, תיקון, Z, הסתברות

הכל באותה חשיבות

רק תיאוריה

רק נוסחאות

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

איך ללמוד! 📚

🎯 התהליך המלא:

1️⃣ בדיקת תנאים
• np ≥ 5?
• n(1-p) ≥ 5?

2️⃣ פרמטרים
• μ = np
• σ = √[np(1-p)]

3️⃣ תיקון רציפות
• לפי טבלת הכללים

4️⃣ תקנון
• Z = (Y - μ) / σ

5️⃣ הסתברות
• מטבלת Z

💡 עדיפויות:

📌 ראשון במעלה:
הבנת התהליך המלא

📌 שני:
תיקון רציפות - הכי נשכח!

📌 שלישי:
בדיקת תנאים - לא לשכוח!

📌 רביעי:
תרגול תרגילים מגוונים

שאלה 40

2.00 נק'

📚 סיכום חלק ד:

מהן 3 השגיאות הנפוצות ביותר?

הכל קשה באותה מידה

אין שגיאות נפוצות

1) שכחת תיקון רציפות 2) אי-בדיקת תנאים 3) כיוון תיקון שגוי

רק שגיאות חישוב

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום שגיאות! 📚

🚨 TOP 3 שגיאות:

1️⃣ שכחת תיקון רציפות
התוצאה הכי שגויה!
P(Z=k) = 0

2️⃣ אי-בדיקת תנאים
n גדול ≠ מספיק!
צריך גם np, n(1-p) ≥ 5

3️⃣ כיוון תיקון שגוי
P(X≤k) לא זה P(Yצריך k+0.5

✅ איך למנוע:

• תמיד עקוב אחר התהליך ה-5-שלבי
• תמיד בדוק תנאים תחילה
• תמיד תקן רציפות
• השתמש בטבלת כללי התיקון
• בדוק שהתשובה הגיונית

שאלה 41

2.00 נק'

🏭 תרגיל מקיף - בקרת איכות:

מפעל טוען ש-2% מהמוצרים פגומים.
בדקנו 500 מוצרים, מצאנו 15 פגומים.

בדוק את הטענה (α=0.05)

לא ניתן לבדוק

Z≈1.43, לא דוחים H₀, הטענה סבירה

דוחים H₀

צריך מדגם גדול יותר

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בקרת איכות! 🏭

📐 פתרון מלא:

שלב 1: ניסוח השערות

H₀: p = 0.02 (הטענה)
H₁: p ≠ 0.02 (דו-צדדי)
α = 0.05

שלב 2: נתונים

n = 500
X = 15 פגומים
p̂ = 15/500 = 0.03

שלב 3: בדיקת תנאים

np₀ = 500 × 0.02 = 10 ≥ 5 ✓
n(1-p₀) = 500 × 0.98 = 490 ≥ 5 ✓

→ אפשר לקרב!

שלב 4: SE תחת H₀

SE = √[p₀(1-p₀)/n]
= √[0.02 × 0.98 / 500]
= √[0.0196 / 500]
= √0.0000392
≈ 0.00626

שלב 5: סטטיסטי המבחן

Z = (p̂ - p₀) / SE
= (0.03 - 0.02) / 0.00626
= 0.01 / 0.00626
≈ 1.60

שלב 6: החלטה

ערך קריטי (דו-צדדי, α=0.05):
±1.96

|Z| = 1.60 < 1.96

→ לא דוחים H₀

מסקנה:

אין ראיה מובהקת סטטיסטית
שהשיעור שונה מ-2%

הטענה של המפעל סבירה

💡 p-value:

p-value = 2×P(Z > 1.60)
≈ 2 × 0.055
≈ 0.11 > 0.05

לא מובהק

שאלה 42

2.00 נק'

🗳️ תרגיל מקיף - סקר:

סקר: n=1200, 528 תומכים במועמד A

א) מה רווח סמך 95% לשיעור התמיכה?
ב) האם יעבור את ה-50%?

א) [0.3, 0.6] ב) אולי

א) [0.415, 0.465] ב) לא, כי הרווח מתחת ל-0.5

לא ניתן לענות

א) [0.4, 0.5] ב) כן

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סקר פוליטי! 🗳️

📐 פתרון מלא:

חלק א: רווח סמך

נתונים:
n = 1200
X = 528
p̂ = 528/1200 = 0.44

בדיקת תנאים:
np̂ = 528 ≥ 5 ✓
n(1-p̂) = 672 ≥ 5 ✓

SE:
SE = √[0.44 × 0.56 / 1200]
= √[0.2464 / 1200]
= √0.0002053
≈ 0.01433

ME (95%):
ME = 1.96 × 0.01433
≈ 0.0281

רווח:
0.44 ± 0.0281
= [0.412, 0.468]

או בקירוב: [0.415, 0.465]

→ [41.5%, 46.5%]

חלק ב: האם יעבור 50%?

הרווח: [41.5%, 46.5%]

כל הרווח מתחת ל-50%

→ לא, הוא לא יעבור 50%

(ב-95% ביטחון)

💡 פירוש פוליטי:

• המועמד תומך ב-44% במדגם
• הרווח לא כולל 50%
• אם הבחירות היום:
→ סביר שהוא לא יעבור את הסף

⚠️ הערה:

זה רק אומר שהשיעור האמיתי
כנראה מתחת ל-50%

זה לא אומר שהוא בהכרח יפסיד
(יש גם מועמדים אחרים!)

שאלה 43

2.00 נק'

💊 תרגיל מקיף - ניסוי קליני:

קבוצת ביקורת: n₁=200, 120 החלימו
קבוצת תרופה: n₂=250, 175 החלימו

בדוק אם התרופה טובה יותר (α=0.05)

Z≈2.35, דוחים H₀, התרופה טובה יותר

התרופה גרועה יותר

לא דוחים H₀

לא ניתן לבדוק

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ניסוי קליני! 💊

📐 פתרון מלא:

שלב 1: השערות

p₁ = שיעור החלמה בביקורת
p₂ = שיעור החלמה עם תרופה

H₀: p₂ ≤ p₁ (התרופה לא עוזרת)
H₁: p₂ > p₁ (התרופה עוזרת)

מבחן חד-צדדי (ימני)

שלב 2: נתונים

קבוצה 1 (ביקורת):
n₁ = 200, X₁ = 120
p̂₁ = 120/200 = 0.60

קבוצה 2 (תרופה):
n₂ = 250, X₂ = 175
p̂₂ = 175/250 = 0.70

הפרש: p̂₂ - p̂₁ = 0.10

שלב 3: SE תחת H₀

תחת H₀: p₁ = p₂ = p

אומד משותף:
p̂ = (X₁+X₂)/(n₁+n₂)
= (120+175)/(200+250)
= 295/450
≈ 0.6556

SE = √[p̂(1-p̂)(1/n₁ + 1/n₂)]
= √[0.6556×0.3444×(1/200 + 1/250)]
= √[0.2258×(0.005 + 0.004)]
= √[0.2258×0.009]
= √0.002032
≈ 0.0451

שלב 4: Z

Z = (p̂₂ - p̂₁) / SE
= (0.70 - 0.60) / 0.0451
= 0.10 / 0.0451
≈ 2.22

שלב 5: החלטה

ערך קריטי (חד-צדדי, α=0.05):
1.645

Z = 2.22 > 1.645

→ דוחים H₀

מסקנה רפואית:

יש ראיה מובהקת סטטיסטית
שהתרופה משפרת את שיעור ההחלמה

70% vs 60%
הפרש של 10%

מובהק סטטיסטית!

💡 p-value:

p-value = P(Z > 2.22)
≈ 0.013 < 0.05

מובהק מאוד!

שאלה 44

2.00 נק'

🎯 תרגיל מקיף - תכנון:

רוצים לזהות שיפור מ-50% ל-55% בהצלחה,
עם עוצמה 80% ורמת מובהקות 5%

בערך איזה n נדרש בכל קבוצה?

n = 30

n = 10000

n = 100

n ≈ 780 בכל קבוצה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

תכנון ניסוי! 🎯

📐 חישוב גודל מדגם:

נוסחה מקורבת:

n ≈ 2×[(Z_α + Z_β)² × p̄(1-p̄)] / (p₂-p₁)²

כאשר:
• p̄ = (p₁+p₂)/2
• Z_α = ערך קריטי לα
• Z_β = ערך קריטי לβ

נתונים:

• p₁ = 0.50 (ביקורת)
• p₂ = 0.55 (תרופה)
• α = 0.05 → Z₀.₀₅ = 1.96
• Power = 0.80 → β = 0.20 → Z₀.₂₀ = 0.84

חישוב:

p̄ = (0.50 + 0.55) / 2 = 0.525

n ≈ 2 × [(1.96 + 0.84)² × 0.525 × 0.475] / (0.05)²

= 2 × [(2.8)² × 0.249375] / 0.0025

= 2 × [7.84 × 0.249375] / 0.0025

= 2 × 1.955 / 0.0025

= 2 × 782

≈ 780 בכל קבוצה

סה"כ: כ-1560 משתתפים

💡 משמעות:

כדי לזהות הבדל של 5%
עם סיכויים טובים (80%)
צריך מדגם גדול!

⭐ תובנה:

הבדלים קטנים
→ צריך מדגמים גדולים

זו הסיבה שניסויים קליניים יקרים!

שאלה 45

2.00 נק'

📊 תרגיל מקיף - פואסון:

X ~ Binomial(1000, 0.003)

איזה קירוב עדיף - נורמלי או פואסון?

אף אחד לא טוב

פואסון, כי np=3<5

נורמלי

שניהם טובים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בינומי-פואסון-נורמלי! 📊

📐 השוואה:

נתונים:
n = 1000, p = 0.003

בדיקה לנורמלי:

np = 1000 × 0.003 = 3 < 5

❌ לא מתקיים התנאי!

קירוב נורמלי לא טוב

קירוב פואסון:

n גדול ✓
p קטן ✓

λ = np = 3

X ~ Poisson(3) בקירוב מצוין!

זה הקירוב המועדף

💡 הכלל:

מצב	קירוב
n גדול, p לא קיצוני np≥5, n(1-p)≥5	נורמלי
n גדול מאוד, p קטן מאוד np<10	פואסון
n גדול מאוד, p קטן np≥10	שניהם (אפילו פואסון→נורמלי)

⭐ בדוגמה שלנו:

P(X = 5) בדיוק:

פואסון:
P(X=5) = (3⁵ × e⁻³) / 5!
≈ 0.1008

נורמלי (לא מומלץ):
μ=3, σ=√3≈1.73
P(4.5 < Y < 5.5)
≈ 0.09 (לא מדויק!)

שאלה 46

2.00 נק'

📚 סיכום - מתי מה:

מה הקשר בין ברנולי, בינומית, פואסון ונורמלית?

ברנולי→בינומית→(נורמלי או פואסון) תלוי ב-n,p

אין קשר

כולם זהים

רק בינומית ונורמלית קשורים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הקשרים בין ההתפלגויות! 📚

🔗 מפת הקשרים:

1️⃣ ברנולי:
ניסוי בודד, X∈{0,1}
↓
2️⃣ בינומית:
סכום n ניסויי ברנולי
X = מספר הצלחות

↙ ↘

3a️⃣ נורמלי:
אם np≥5, n(1-p)≥5
X ~ N(np, np(1-p))

3b️⃣ פואסון:
אם n גדול, p קטן
X ~ Poisson(np)

↓ (אם λ≥10)

4️⃣ נורמלי:
Poisson → N(λ, λ)

📊 טבלת החלטה:

n	p	התפלגות	קירוב
קטן (<20)	כל p	בינומית	חישוב ישיר
גדול (>30)	לא קיצוני (0.1-0.9)	בינומית	נורמלי
גדול מאוד (>100)	קטן מאוד (<0.05)	בינומית	פואסון
גדול מאוד	קטן אבל np≥10	פואסון	נורמלי

שאלה 47

2.00 נק'

📋 סיכום נוסחאות:

מהן 3 הנוסחאות החשובות ביותר?

1) פרמטרים: μ=np, σ²=np(1-p) 2) תנאים: np≥5, n(1-p)≥5 3) תיקון: ±0.5

רק Z=(x-μ)/σ

הכל באותה חשיבות

אין נוסחאות חשובות

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום נוסחאות! 📋

🎯 הנוסחאות החיוניות:

1️⃣ פרמטרי הקירוב:

μ = np

σ² = np(1-p)

σ = √[np(1-p)]

2️⃣ תנאי הקירוב:

np ≥ 5

n(1-p) ≥ 5

3️⃣ תיקון רציפות:

P(X=k) → P(k-0.5 < Y < k+0.5)

P(X≤k) → P(Y < k+0.5)

P(X≥k) → P(Y > k-0.5)

✅ ולא לשכוח:

Z = (Y - μ) / σ

לתקנון!

שאלה 48

2.00 נק'

⚙️ סיכום תהליך:

מה סדר הפעולות הנכון?

תיקון → Z → תנאים

רק חישוב Z

אין סדר קבוע

תנאים → פרמטרים → תיקון → Z → טבלה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

תהליך העבודה! ⚙️

📋 רשימת הצ׳ק-ליסט:

☐ שלב 1: בדיקת תנאים
□ np ≥ 5?
□ n(1-p) ≥ 5?
→ אם לא, עצור!

☐ שלב 2: חישוב פרמטרים
□ μ = np
□ σ = √[np(1-p)]

☐ שלב 3: תיקון רציפות
□ זיהוי סוג השאלה
□ החלת כלל התיקון הנכון

☐ שלב 4: תקנון
□ Z = (Y - μ) / σ
□ חישוב ערכי Z

☐ שלב 5: הסתברות
□ חיפוש בטבלת Z
□ חישוב P
□ בדיקת הגיון התוצאה

שאלה 49

2.00 נק'

🌍 סיכום יישומים:

באילו תחומים משתמשים בקירוב בינומי-נורמלי?

סקרים, בקרת איכות, ניסויים קליניים, מחקר שוק

אין שימושים מעשיים

רק באקדמיה

רק בסטטיסטיקה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

יישומים מעשיים! 🌍

🎯 תחומי שימוש:

1️⃣ סקרי דעת קהל
• סקרים פוליטיים
• מחקרי שוק
• סקרי שביעות רצון
→ אומדי שיעורים ורווחי סמך

2️⃣ בקרת איכות
• בדיקת שיעור פגמים
• ניטור תהליכי ייצור
• אישור משלוחים
→ בדיקות השערות

3️⃣ רפואה
• ניסויים קליניים
• השוואת טיפולים
• שיעורי הצלחה
→ בדיקות יעילות

4️⃣ כלכלה ועסקים
• שיעורי המרה
• אחוזי נטישה
• A/B testing
→ החלטות עסקיות

5️⃣ מדעי החברה
• מחקרי התנהגות
• ניסויים פסיכולוגיים
• סוציולוגיה
→ בדיקת תיאוריות

💡 המסר:

קירוב בינומי-נורמלי הוא
אחד הכלים הנפוצים ביותר
בסטטיסטיקה מעשית!

שאלה 50

2.00 נק'

🎓 סיכום אחרון:

מה המסר המרכזי של מבחן 148?

אין מסר מיוחד

קירוב נורמלי הופך חישובים בינומיים מסורבלים לפשוטים ומהירים

בינומית קשה

נורמלית תמיד טובה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

המסר המרכזי! 🎓

🌟 סיכום מבחן 148:

קירוב בינומי-נורמלי

💡 התובנה המרכזית:

במקום לחשב:
C(1000,520) × 0.5⁵²⁰ × 0.5⁴⁸⁰
(בלתי אפשרי!)

אפשר פשוט:
Z = (520-500)/15.8 ≈ 1.27
P(Z<1.27) ≈ 0.90
(מהיר ופשוט!)

🎯 מה למדנו:

✓ מתי אפשר לקרב (תנאים)
✓ איך לקרב (פרמטרים)
✓ איך לתקן (רציפות)
✓ איך לחשב (Z וטבלה)
✓ איך ליישם (סקרים, בקרה, רפואה)

⭐ הכוח של הקירוב:

הופך את הבלתי אפשרי לאפשרי!

🎉 סיימנו!

עכשיו אתם יודעים:

• מבחן 146: מושגי יסוד בסטטיסטיקה
• מבחן 147: משפט הגבול המרכזי
• מבחן 148: קירוב בינומי-נורמלי

בהצלחה! 🎯

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 50 הושלמו