גזירת פונקציית שורש ורציונלית (מנת שורש)

נוסחה לשורש: אם \(f(x)=\sqrt{g(x)}\) אז \(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}}\).
נוסחת מנה: אם \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\) אז \(f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}\).
כאן \(u(x)=\sqrt{x}\), \(v(x)=x\). מתקבל \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), \(v^{\prime}(x)=1\). נציב בנוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x-\sqrt{x}\cdot1}{x^{2}}=\dfrac{x}{2x^{1/2}x^{2}}-\dfrac{x^{1/2}}{x^{2}}=-\dfrac{1}{2x^{3/2}}\).

נגדיר: \(u(x)=\sqrt{x+3}\), \(v(x)=x\).
נגזור שורש: \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\). נגזור מכנה: \(v^{\prime}(x)=1\).
נחיל נוסחת מנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x+3}}\cdot x-\sqrt{x+3}}{x^{2}}\).
נוציא גורם משותף ונקבל \(f^{\prime}(x)=\dfrac{x-2(x+3)}{2x^{2}\sqrt{x+3}}\).

גישה מהירה: אפשר לכתוב \(f(x)=x\cdot x^{-1/2}=x^{1/2}\), ואז \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
גישה דרך נוסחת המנה: \(u(x)=x\), \(v(x)=\sqrt{x}\), מתקבל \(u^{\prime}(x)=1\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) ואז \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{x}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\dfrac{\sqrt{x}-\dfrac{x}{2\sqrt{x}}}{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).

נגדיר: \(u(x)=\sqrt{5x}\), \(v(x)=x\).
נגזור את השורש: \(u^{\prime}(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x}}\). נגזור את המכנה: \(v^{\prime}(x)=1\).
נחיל נוסחת מנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{5}{2\sqrt{5x}}\cdot x-\sqrt{5x}}{x^{2}}\). לאחר הוצאת גורם משותף וסידור נקבל כי \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{2x\sqrt{5x}}\).

נוסחאות: לשורש ולמנה כמו קודם.
חישוב: \(u(x)=\sqrt{x+1}\), לכן \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\). \(v(x)=x+2\), ולכן \(v^{\prime}(x)=1\).
נחיל נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}(x+2)-\sqrt{x+1}}{(x+2)^{2}}\). לאחר איחוד שברים מתקבל ביטוי קומפקטי: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{(x+2)-2(x+1)}{2(x+2)^{2}\sqrt{x+1}}\).

נגדיר: \(u(x)=x\), \(v(x)=\sqrt{x+4}\). אז \(u^{\prime}(x)=1\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}\).
לפי נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{x+4}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}}{x+4}\). אפשר להשאיר כך, או להמשיך לפישוט נוסף לפי הצורך.

נגזרת השורש: \(u(x)=\sqrt{2x+1}\) ולכן \(u^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\).
המכנה: \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\cdot x-\sqrt{2x+1}\cdot1}{x^{2}}\). אחרי איחוד שברים מתקבל \(f^{\prime}(x)=\dfrac{x-(2x+1)}{x^{2}\sqrt{2x+1}}\).

נגדיר: \(u(x)=x+1\), \(v(x)=\sqrt{x}\). אז \(u^{\prime}(x)=1\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
נוסחת המנה נותנת \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{x}-(x+1)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x}\). אפשר להמשיך לפשט, אך כבר כאן רואים את כל שלבי הגזירה.

שלב 1: נגזרת השורש. נגדיר \(u(x)=\sqrt{3x+6}\), ולכן \(u^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+6}}\).
שלב 2: המכנה \(v(x)=x+1\), ולכן \(v^{\prime}(x)=1\).
שלב 3: נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x+6}}(x+1)-\sqrt{3x+6}}{(x+1)^{2}}\). אחרי כינוס איברים מקבלים ביטוי מסודר: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{(x+1)-2(3x+6)}{2(x+1)^{2}\sqrt{3x+6}}\).

הגדרות: \(u(x)=x\), \(v(x)=\sqrt{2x+2}\). לכן \(u^{\prime}(x)=1\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+2}}\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{2x+2}-x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2x+2}}}{2x+2}\). זו גזירה מלאה ומסודרת, ואפשר להמשיך לפשט לפי צורכי התרגול.

שלב 1: \(u(x)=\sqrt{x+4}\), לכן \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}\).
שלב 2: \(v(x)=x-1\), ולכן \(v^{\prime}(x)=1\).
שלב 3: נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}(x-1)-\sqrt{x+4}}{(x-1)^{2}}\). אחרי כינוס מתקבל \(f^{\prime}(x)=\dfrac{(x-1)-2(x+4)}{2(x-1)^{2}\sqrt{x+4}}\).

שורש: \(u(x)=\sqrt{2x+5}\) ולכן \(u^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+5}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}\).
מכנה: \(v(x)=x+3\), \(v^{\prime}(x)=1\).
נחיל נוסחת מנה ונקבל לאחר פישוט \(f^{\prime}(x)=\dfrac{(x+3)-2(2x+5)}{2(x+3)^{2}\sqrt{2x+5}}\).

הצבה בנוסחת מנה: \(u(x)=x\), \(v(x)=\sqrt{x+1}\). נגזרות: \(u^{\prime}(x)=1\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\).
מקבלים \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}\). זו גזירה מלאה, כולל הצבה והפרדה בין מונה למכנה.

נגדיר: \(u(x)=x+2\), \(v(x)=\sqrt{3x}\). נגזרות: \(u^{\prime}(x)=1\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x}}\).
נוסחת המנה נותנת \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{3x}-(x+2)\cdot\dfrac{3}{2\sqrt{3x}}}{3x}\). תלמיד יכול להמשיך לפשט לפי הצורך, אך כל שלבי הגזירה כבר מוצגים.

שורש: \(u(x)=\sqrt{4x+1}\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\).
מכנה: \(v(x)=2x\), \(v^{\prime}(x)=2\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\cdot2x-\sqrt{4x+1}\cdot2}{(2x)^{2}}\). לאחר פישוט מתקבל ביטוי מסודר: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x-2(4x+1)}{4x^{2}\sqrt{4x+1}}\).

שורש יורד: \(u(x)=\sqrt{9-x}\), לכן \(u^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{9-x}}\).
מכנה: \(v(x)=x+2\), \(v^{\prime}(x)=1\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{-1}{2\sqrt{9-x}}(x+2)-\sqrt{9-x}}{(x+2)^{2}}\). כינוס האיברים נותן ביטוי קומפקטי כמו בתשובה הנכונה.

הגדרות: \(u(x)=x\), \(v(x)=\sqrt{5-x}\). נגזרות: \(u^{\prime}(x)=1\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{5-x}}\).
נוסחת מנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{5-x}-x\cdot\dfrac{-1}{2\sqrt{5-x}}}{5-x}\). סימן המינוס במכנה הפנימי הופך לחיובי במונה, ולכן שתי תרומות סך הכול חיוביות.

שורש: \(u(x)=\sqrt{x+2}\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}\).
מכנה: \(v(x)=2x-1\), \(v^{\prime}(x)=2\).
נוסחת מנה נותנת \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}(2x-1)-\sqrt{x+2}\cdot2}{(2x-1)^{2}}\). איחוד שברים מביא לצורה שבתשובה הנכונה.

נגדיר: \(u(x)=\sqrt{3x+1}\), \(v(x)=x^{2}\). נגזרות: \(u^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}\), \(v^{\prime}(x)=2x\).
נוסחת מנה נותנת \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}x^{2}-\sqrt{3x+1}\cdot2x}{x^{4}}\). תלמידים יכולים להוציא גורם משותף אם רוצים, אך כאן מוצג כל שלב הגזירה.

הגדרות: \(u(x)=x^{2}\), \(v(x)=\sqrt{x+3}\). נגזרות: \(u^{\prime}(x)=2x\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\).
נוסחת המנה נותנת \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x\sqrt{x+3}-x^{2}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}}{x+3}\). זו גזירה מלאה צעד אחר צעד.

נגדיר: \(u(x)=\sqrt{2x+1}\), \(v(x)=x^{2}+1\). נגזרות: \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\), \(v^{\prime}(x)=2x\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}(x^{2}+1)-\sqrt{2x+1}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}\). הביטוי בתשובה הנכונה מציג בדיוק גזירה זו.

שורש מורכב: \(v(x)=\sqrt{x^{2}+4}\), ולכן \(v^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+4}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\). \(u(x)=x+1\), \(u^{\prime}(x)=1\).
נוסחת המנה מובילה ל\(f^{\prime}(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{x^{2}+4}-(x+1)\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}}{x^{2}+4}\).

שורש: \(u(x)=\sqrt{4x^{2}+1}\), לכן \(u^{\prime}(x)=\dfrac{8x}{2\sqrt{4x^{2}+1}}\). \(v(x)=x\) ולכן \(v^{\prime}(x)=1\).
לפי נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}=\dfrac{\dfrac{8x}{2\sqrt{4x^{2}+1}}\cdot x-\sqrt{4x^{2}+1}}{x^{2}}\).

שורש: \(u(x)=\sqrt{x^{2}+9}\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\).
מכנה: \(v(x)=x+3\), \(v^{\prime}(x)=1\).
בצורת מנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}(x+3)-\sqrt{x^{2}+9}}{(x+3)^{2}}\).

הגדרות: \(u(x)=x^{2}+1\), \(v(x)=\sqrt{x+2}\). נגזרות: \(u^{\prime}(x)=2x\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x\sqrt{x+2}-(x^{2}+1)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}}{x+2}\). זו גזירה מלאה וברורה.

שורש: \(u(x)=\sqrt{x+1}\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\).
מכנה: \(v(x)=x^{2}-1\), \(v^{\prime}(x)=2x\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}(x^{2}-1)-2x\sqrt{x+1}}{(x^{2}-1)^{2}}\).

שורש: \(v(x)=\sqrt{x^{2}+1}\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\). \(u(x)=x\), \(u^{\prime}(x)=1\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}\).

שורש יורד: \(u(x)=\sqrt{4-x^{2}}\), לכן \(u^{\prime}(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^{2}}}=-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\).
המכנה \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\cdot x-\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}}\).

שורש: \(u(x)=\sqrt{x+5}\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+5}}\).
מכנה: \(v(x)=x^{2}+4x\), \(v^{\prime}(x)=2x+4\).
נוסחת מנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+5}}(x^{2}+4x)-(2x+4)\sqrt{x+5}}{(x^{2}+4x)^{2}}\).

הגדרות: \(u(x)=x^{2}-1\), \(v(x)=\sqrt{2x+3}\). נגזרות: \(u^{\prime}(x)=2x\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}\).
נוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x\sqrt{2x+3}-(x^{2}-1)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{2x+3}}}{2x+3}\). כל שלבי הגזירה נמצאים בהסבר.