אורח מצב צפייה מבחן: פונקציות על (surjective)

פונקציות על (surjective)

מבחן פונקציות על (surjective) - הגדרה, תלות בטווח B, שיטות בדיקה, דוגמאות לפונקציות על ולא על.

הגדרת פונקציה על לינארית (תמיד על) ריבועית (תלוי ב-B) שיטות בדיקה מעריכית (לא על ל-ℝ) לוגריתם (כן על) רציונלית (תלוי ב-B) טריגונומטריה (תלוי ב-B) הרכבת פונקציות סיכום מלא
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

🎯 הגדרה:

פונקציה \(f: A \to B\) היא על (surjective) אם:

הסבר:
🎯 פונקציה על - הגדרה

ההגדרה הפורמלית:

פונקציה \(f: A \to B\) היא על (surjective) אם:

\(\forall y \in B, \exists x \in A: f(x) = y\)

או בעברית:

לכל y ב-B, קיים x ב-A שמתאים לו

במילים פשוטות:

כל איבר בטווח (B) מתקבל!

אין איבר "יתום" ב-B שאף x לא מגיע אליו ✓

שקול:

\(f\) על ⇔ טווח = B

כל הקבוצה B היא בטווח!

תחום Aטווח Bכל נקודה ב-Bמקבלת חץ!
דוגמה לא על:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
\(f(x) = x^2\)

טווח = \([0, \infty)\)

אבל B = \(\mathbb{R}\) (כולל שליליים!)

מספרים שליליים לא מתקבלים ✗

לא על!

⚠️ זכור:

חד-חד ≠ על

• חד-חד: כל y מתקבל לכל היותר פעם אחת
• על: כל y בטווח מתקבל לפחות פעם אחת
שאלה 2
10.00 נק'

✅ דוגמה:

האם \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x + 1\) היא על?

הסבר:
✅ לינארית על

הפונקציה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

\(f(x) = 2x + 1\)

בדיקה:

צריך להראות שלכל \(y \in \mathbb{R}\),
קיים \(x \in \mathbb{R}\) כך ש-\(f(x) = y\)

נתון: \(y \in \mathbb{R}\) כלשהו

מטרה: למצוא x

פתרון:

\(f(x) = y\)

\(2x + 1 = y\)

\(2x = y - 1\)

\(x = \frac{y-1}{2}\) ✓

בדיקה:

\(f\left(\frac{y-1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{y-1}{2} + 1 = y\) ✓

לכן היא על!

הכלל הכללי:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
\(f(x) = ax + b\)

על אם ורק אם \(a \neq 0\)

• אם \(a = 0\): פונקציה קבועה (לא על)
• אם \(a \neq 0\): תמיד על! ✓

y כלשהויש x! ✓כל y מכוסה! ✓
למה?

קו ישר (לא אופקי) עובר דרך כל הערכים ב-\(\mathbb{R}\)

הטווח = \(\mathbb{R}\) = B ✓

מעניין!

לינארית (עם \(a \neq 0\)) היא:

• חד-חד ✓
• על ✓

לכן היא חח"ע (bijective)!
שאלה 3
10.00 נק'

² ריבועית:

האם \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\) היא על?

הסבר:
² ריבועית - לא על!

הפונקציה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

\(f(x) = x^2\)

בדיקה:

הטווח של \(x^2\):

\(x^2 \geq 0\) תמיד

אז הטווח = \([0, \infty)\)

אבל B = \(\mathbb{R}\)

כולל מספרים שליליים!

נבדוק \(y = -1\):

האם קיים x כך ש-\(x^2 = -1\)?

לא! (ב-\(\mathbb{R}\)) ✗

לכן לא על!

טווח: [0,∞)y<0: לא מתקבל! ✗
⚠️ אבל...

אם משנים את B:

\(f: \mathbb{R} \to [0, \infty)\)
\(f(x) = x^2\)

עכשיו היא כן על! ✓

(כי טווח = B)

הנקודה החשובה:

"על" תלוי ב-הגדרת B!

אותה פונקציה יכולה להיות:
• על לקבוצה אחת
• לא על לקבוצה אחרת

זה תלוי במה הגדרנו כ-"טווח מטרה"

סיכום ריבועית:

\(f(x) = x^2\)

• \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\): לא על ✗
• \(\mathbb{R} \to [0,\infty)\): כן על ✓
• \([0,\infty) \to [0,\infty)\): כן על וגם חד-חד! ✓✓
שאלה 4
10.00 נק'

🔍 שיטת בדיקה:

איך בודקים אם \(f: A \to B\) היא על?

הסבר:
🔍 שיטות בדיקת "על"

העקרון הבסיסי:

\(f: A \to B\) על ⇔ טווח(f) = B

שיטה 1: מציאת טווח

1. מצא את טווח הפונקציה
2. השווה ל-B
3. אם שווים ⇒ על ✓

דוגמה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
\(f(x) = x^3\)

טווח: \(\mathbb{R}\) (קוביה מכסה הכל)

B: \(\mathbb{R}\)

טווח = B ⇒ על! ✓

שיטה 2: פתרון משוואה

לכל \(y \in B\) (שרירותי):

1. פתור \(f(x) = y\) עבור x
2. אם יש פתרון ב-A ⇒ על ✓
3. אם אין פתרון ⇒ לא על ✗

דוגמה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
\(f(x) = 2x + 1\)

יהי \(y \in \mathbb{R}\) כלשהו

פתרון \(2x + 1 = y\):

\(x = \frac{y-1}{2} \in \mathbb{R}\) ✓

תמיד יש פתרון ⇒ על!

שיטה 3: גרפית

ציור הגרף:

• אם כל קו אופקי \(y = c\) (עם \(c \in B\))
חותך את הגרף ⇒ על ✓

• אם יש קו אופקי שלא חותך ⇒ לא על ✗

כל קו חותך! ✓
טיפ חשוב:

אם מצאת ערך אחד ב-B
שלא מתקבל מאף x ב-A,

זה מספיק כדי להוכיח ש-f לא על!

די להראות דוגמה נגדית אחת ✓
שאלה 5
10.00 נק'

📈 מעריכית:

האם \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = e^x\) היא על?

הסבר:
📈 מעריכית

הפונקציה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

\(f(x) = e^x\)

בדיקה:

מה הטווח של \(e^x\)?

\(e^x > 0\) תמיד!

לכל \(x \in \mathbb{R}\):
\(e^x > 0\)

אז הטווח = \((0, \infty)\)

אבל B = \(\mathbb{R}\)

כולל מספרים שליליים ו-0!

דוגמה נגדית:

האם קיים x כך ש-\(e^x = -1\)?

לא! ✗

האם קיים x כך ש-\(e^x = 0\)?

לא! ✗

לכן לא על!

y = 0 (אסימפטוטה)טווח: (0,∞)y<0: לא מתקבל! ✗
⚠️ אבל...

אם משנים את B:

\(f: \mathbb{R} \to (0, \infty)\)
\(f(x) = e^x\)

עכשיו היא כן על! ✓

(וגם חד-חד, אז היא חח"ע!)

הכלל הכללי:

\(f(x) = a^x\) (עם \(a > 0, a \neq 1\))

• \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\): לא על ✗
• \(\mathbb{R} \to (0, \infty)\): כן על ✓

הטווח תמיד \((0, \infty)\)!

מעניין:

\(e^x: \mathbb{R} \to (0,\infty)\)

זו חח"ע! (חד-חד וגם על)

הפונקציה ההופכית:

\(\ln: (0,\infty) \to \mathbb{R}\)

גם היא חח"ע!
שאלה 6
10.00 נק'

📊 לוגריתם:

האם \(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \ln(x)\) היא על?

הסבר:
📊 לוגריתם - כן על!

הפונקציה:

\(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}\)

\(f(x) = \ln(x)\)

בדיקה:

צריך להראות שלכל \(y \in \mathbb{R}\),
קיים \(x \in (0, \infty)\) כך ש-\(\ln(x) = y\)

נתון: \(y \in \mathbb{R}\) כלשהו

מטרה: למצוא \(x \in (0, \infty)\)

פתרון:

\(\ln(x) = y\)

\(x = e^y\)

בדיקה:
• האם \(e^y > 0\)? כן! ✓
• האם \(\ln(e^y) = y\)? כן! ✓

לכן היא על!

יש x! ✓כל y מכוסה! ✓
הטווח:

טווח(\(\ln\)) = \(\mathbb{R}\)

• \(x \to 0^+\): \(\ln(x) \to -\infty\)
• \(x \to \infty\): \(\ln(x) \to \infty\)

לוגריתם מכסה את כל \(\mathbb{R}\)! ✓

מעניין!

\(\ln: (0,\infty) \to \mathbb{R}\)

היא:
• חד-חד ✓
• על ✓

לכן היא חח"ע!

ההופכית:
\(e^x: \mathbb{R} \to (0,\infty)\)

הכלל:

\(\log_a: (0,\infty) \to \mathbb{R}\)

עם \(a > 0, a \neq 1\)

תמיד:
• חד-חד ✓
• על ✓

לכל בסיס!
שאלה 7
10.00 נק'

÷ רציונלית:

האם \(f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \frac{1}{x}\) היא על?

הסבר:
÷ רציונלית - לא על!

הפונקציה:

\(f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}\)

\(f(x) = \frac{1}{x}\)

בדיקה:

מה הטווח של \(\frac{1}{x}\)?

\(\frac{1}{x} \neq 0\) תמיד!

(אין x כך ש-\(\frac{1}{x} = 0\))

אז הטווח = \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

אבל B = \(\mathbb{R}\)

כולל את 0!

דוגמה נגדית:

האם קיים x כך ש-\(\frac{1}{x} = 0\)?

לא! ✗

לכן לא על!

y=0: לא מתקבל! ✗y≠0 מתקבל ✓
⚠️ אבל...

אם משנים את B:

\(f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
\(f(x) = \frac{1}{x}\)

עכשיו היא כן על! ✓

(וגם חד-חד, אז היא חח"ע!)

הוכחה שהיא על:

יהי \(y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

האם קיים \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) כך ש-\(\frac{1}{x} = y\)?

כן! \(x = \frac{1}{y}\) ✓

כיוון ש-\(y \neq 0\), גם \(x = \frac{1}{y} \neq 0\) ✓

מעניין!

\(\frac{1}{x}: \mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}\setminus\{0\}\)

היא הופכית לעצמה!

\(f(f(x)) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x\) ✓
שאלה 8
10.00 נק'

∿ טריגונומטריה:

האם \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sin(x)\) היא על?

הסבר:
∿ סינוס

הפונקציה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

\(f(x) = \sin(x)\)

בדיקה:

מה הטווח של \(\sin(x)\)?

\(-1 \leq \sin(x) \leq 1\) תמיד!

אז הטווח = \([-1, 1]\)

אבל B = \(\mathbb{R}\)

דוגמה נגדית:

האם קיים x כך ש-\(\sin(x) = 2\)?

לא! ✗

האם קיים x כך ש-\(\sin(x) = -5\)?

לא! ✗

לכן לא על!

y=1y=-1y>1: לא מתקבל! ✗
⚠️ אבל...

אם משנים את B:

\(f: \mathbb{R} \to [-1, 1]\)
\(f(x) = \sin(x)\)

עכשיו היא כן על! ✓

(אבל לא חד-חד! סינוס מחזורי)

תיקון לחח"ע:

כדי לקבל חח"ע, צריך גם להגביל תחום:

\(f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1]\)
\(f(x) = \sin(x)\)

עכשיו:
• חד-חד ✓
• על ✓

הפונקציה ההופכית: \(\arcsin\)

סיכום טריגונומטריה:

• \(\sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) - לא על ✗
• \(\sin: \mathbb{R} \to [-1,1]\) - כן על ✓
• \(\cos: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) - לא על ✗
• \(\cos: \mathbb{R} \to [-1,1]\) - כן על ✓
שאלה 9
10.00 נק'

∘ הרכבה:

אם \(f: A \to B\) ו-\(g: B \to C\) שתיהן על, האם \(g \circ f\) על?

הסבר:
∘ הרכבת פונקציות

משפט:

אם \(f: A \to B\) ו-\(g: B \to C\) שתיהן על,

אז \((g \circ f): A \to C\)

גם על! ✓

הוכחה:

יהי \(z \in C\) כלשהו

צריך למצוא \(x \in A\) כך ש-\((g \circ f)(x) = z\)

שלב 1:
כיוון ש-\(g\) על ו-\(z \in C\):
⇒ קיים \(y \in B\) כך ש-\(g(y) = z\) ✓

שלב 2:
כיוון ש-\(f\) על ו-\(y \in B\):
⇒ קיים \(x \in A\) כך ש-\(f(x) = y\) ✓

שלב 3:
\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z\) ✓

מצאנו x! לכן \(g \circ f\) על!

ABCzyxfgg∘f
דוגמה:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x\) - על ✓
\(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x + 1\) - על ✓

\((g \circ f)(x) = 2x + 1\)

גם על! ✓

⚠️ זכור:

אם \(g \circ f\) על,
זה לא מבטיח ש-\(f\) או \(g\) על!

אבל אם \(g \circ f\) על:
⇒ \(g\) בהכרח על ✓

(לא בהכרח f)

סיכום:

• על + על = על ✓
• חד-חד + חד-חד = חד-חד ✓
• חח"ע + חח"ע = חח"ע ✓
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

איזה תנאי חייב להתקיים כדי ש-\(f: A \to B\) תהיה על?

הסבר:
📚 סיכום - פונקציות על

הגדרה:

\(f: A \to B\) על ⇔ טווח = B

כל איבר ב-B מתקבל מאיבר ב-A

איך בודקים?

שיטהאיך
טווחמצא טווח, בדוק אם = B
משוואהפתור f(x)=y עבור כל y∈B
גרףכל קו אופקי y∈B חותך

דוגמאות על:

• לינארית: \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(ax+b\) (a≠0)
• קוביה: \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x^3\)
• לוגריתם: \((0,\infty) \to \mathbb{R}\), \(\ln(x)\)
• סינוס: \(\mathbb{R} \to [-1,1]\), \(\sin(x)\)

דוגמאות לא על:

• ריבועית: \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x^2\) (טווח: [0,∞))
• מעריכית: \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(e^x\) (טווח: (0,∞))
• רציונלית: \(\mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}\), \(\frac{1}{x}\)
• סינוס: \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(\sin(x)\)

⚠️ חשוב:

• "על" תלוי בהגדרת B!
• אותה פונקציה יכולה להיות על/לא על
תלוי איך הגדרנו את B
• דוגמה: \(x^2\)
- \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\): לא על ✗
- \(\mathbb{R} \to [0,\infty)\): כן על ✓

תכונות:

• על + על = על (הרכבה) ✓
• חד-חד + על = חח"ע (bijective) ✓
• אם f חח"ע, יש לה פונקציה הופכית ✓
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו