אורח מצב צפייה מבחן: חד-חד ערכיות one-to-one (injective)

חד-חד ערכיות one-to-one (injective)

מבחן חד-חד ערכיות (injective) - הגדרה, מבחן הקו האופקי, מונוטוניות, זיהוי פונקציות חד-חד ערכיות.

הגדרת חד-חד ערכיות מבחן הקו האופקי לינארית (תמיד חד-חד) ריבועית (לא חד-חד על ℝ) מונוטוניות ⇒ חד-חד מעריכית (חד-חד) רציונלית (טריק!) קוביה (חד-חד) הרכבת פונקציות סיכום מלא
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

🎯 הגדרה:

פונקציה \(f\) היא חד-חד ערכית אם:

הסבר:
🎯 חד-חד ערכית - הגדרה

ההגדרה הפורמלית:

פונקציה \(f\) היא חד-חד ערכית (injective) אם:

\(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)

או באופן שקול:

\(x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\)

במילים פשוטות:

כל y מתקבל מ-x אחד בלבד!

אין שני x שונים שנותנים אותו y ✓

דוגמה חד-חד ערכית:

\(f(x) = 2x + 1\)

אם \(f(x_1) = f(x_2)\):

\(2x_1 + 1 = 2x_2 + 1\)

\(2x_1 = 2x_2\)

\(x_1 = x_2\) ✓

זו חד-חד ערכית!

תחוםטווחחץ אחדלכל נקודהבתחום
דוגמה לא חד-חד ערכית:

\(f(x) = x^2\)

\(f(2) = 4\)
\(f(-2) = 4\)

אותו y משני x שונים! ✗

לא חד-חד ערכית!

⚠️ זכור:

חד-חד ערכית ≠ על

• חד-חד: כל y מתקבל מ-x אחד לכל היותר
• על: כל y בטווח מתקבל
שאלה 2
10.00 נק'

📏 מבחן גרפי:

איך בודקים חד-חד ערכיות בעזרת גרף?

הסבר:
📏 מבחן הקו האופקי

הכלל:

פונקציה היא חד-חד ערכית אם:

כל קו אופקי חותך את הגרף לכל היותר פעם אחת

(או לא חותך בכלל)

למה זה עובד?

קו אופקי = \(y = c\) (קבוע)

חיתוך עם הגרף ⇒ \(f(x) = c\)

אם יש 2 חיתוכים:
⇒ \(f(x_1) = f(x_2) = c\) עם \(x_1 \neq x_2\)
⇒ לא חד-חד ערכית! ✗

דוגמה 1: חד-חד ✓

\(f(x) = x^3\)

קו אופקיחיתוך אחד בלבד! ✓
דוגמה 2: לא חד-חד ✗

\(f(x) = x^2\)

קו אופקי2 חיתוכים! ✗
השוואה:

מבחן קו אנכי:
בודק אם זו בכלל פונקציה

מבחן קו אופקי:
בודק אם זו פונקציה חד-חד ערכית
שאלה 3
10.00 נק'

📈 לינארית:

האם \(f(x) = 3x - 5\) חד-חד ערכית?

הסבר:
📈 לינארית

הפונקציה:

\(f(x) = 3x - 5\)

הוכחה אלגברית:

נניח \(f(x_1) = f(x_2)\):

\(3x_1 - 5 = 3x_2 - 5\)

\(3x_1 = 3x_2\)

\(x_1 = x_2\) ✓

לכן היא חד-חד ערכית!

הכלל הכללי:

\(f(x) = ax + b\)

חד-חד ערכית אם ורק אם \(a \neq 0\)

• אם \(a = 0\): פונקציה קבועה (לא חד-חד)
• אם \(a \neq 0\): תמיד חד-חד ערכית! ✓

y=40חיתוך אחד! ✓חיתוך אחד! ✓
למה?

קו ישר (לא אופקי) חותך כל קו אופקי בדיוק פעם אחת!

זה נכון בין אם השיפוע חיובי או שלילי ✓

דוגמאות:

• \(f(x) = x\) - חד-חד ✓
• \(f(x) = -2x + 7\) - חד-חד ✓
• \(f(x) = 5\) (קבועה) - לא חד-חד ✗
שאלה 4
10.00 נק'

² ריבועית:

האם \(f(x) = x^2\) (תחום: \(\mathbb{R}\)) חד-חד ערכית?

הסבר:
² ריבועית - לא חד-חד!

הפונקציה:

\(f(x) = x^2\)

תחום: \(\mathbb{R}\)

הוכחה:

נבדוק את 2 ו--2:

\(f(2) = 4\)
\(f(-2) = 4\)

\(f(2) = f(-2)\) אבל \(2 \neq -2\) ✗

לכן לא חד-חד ערכית!

y=4x=-2x=22 חיתוכים! ✗
למה?

פרבולה סימטרית ביחס לציר y

לכל \(x \neq 0\):
\(f(x) = f(-x)\)

יש שני x שונים עם אותו y!

⚠️ אבל...

אם מצמצמים את התחום:

\(f(x) = x^2\) על \([0, \infty)\)

זו כן חד-חד ערכית! ✓

(כי אין מספרים שליליים)

הכלל:

כל ריבועית (על \(\mathbb{R}\)) לא חד-חד

אבל אפשר להגביל לחצי אחד של הפרבולה:
• \([h, \infty)\) - מקודקוד ימינה ✓
• \((-\infty, h]\) - מקודקוד שמאלה ✓

כאשר h = x של הקודקוד
שאלה 5
10.00 נק'

↗️ מונוטוניות:

אם פונקציה עולה ממש בכל תחומה, האם היא חד-חד ערכית?

הסבר:
↗️ מונוטוניות וחד-חד ערכיות

משפט חשוב:

אם \(f\) עולה ממש או יורדת ממש בכל תחומה,
אז \(f\) חד-חד ערכית! ✓

הגדרות:

עולה ממש:
\(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)

יורדת ממש:
\(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)

הוכחה (עולה ממש):

נניח \(f(x_1) = f(x_2)\)

אם \(x_1 < x_2\):
⇒ \(f(x_1) < f(x_2)\) (עולה ממש)
⇒ סתירה! \(f(x_1) \neq f(x_1)\)

אם \(x_2 < x_1\):
⇒ \(f(x_2) < f(x_1)\) (עולה ממש)
⇒ סתירה! \(f(x_2) \neq f(x_2)\)

לכן בהכרח \(x_1 = x_2\) ✓

חיתוך אחד! ✓עולה ממש
דוגמאות:

• \(f(x) = x^3\) - עולה ממש ⇒ חד-חד ✓
• \(f(x) = e^x\) - עולה ממש ⇒ חד-חד ✓
• \(f(x) = -x\) - יורדת ממש ⇒ חד-חד ✓
• \(f(x) = \frac{1}{x}\) על \((0,\infty)\) - יורדת ממש ⇒ חד-חד ✓

⚠️ זכור:

עולה ממש ≠ עולה

• עולה: \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\)
• עולה ממש: \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)

פונקציה עולה (לא ממש) לא בהכרח חד-חד!
דוגמה: \(f(x) = \lfloor x \rfloor\) (רצפה)
שאלה 6
10.00 נק'

📈 מעריכית:

האם \(f(x) = 2^x\) חד-חד ערכית?

הסבר:
📈 מעריכית

הפונקציה:

\(f(x) = 2^x\)

בדיקה:

האם עולה ממש?

לכל \(x_1 < x_2\):

\(2^{x_1} < 2^{x_2}\) ✓

(כי 2 > 1)

לכן \(2^x\) עולה ממש

⇒ חד-חד ערכית! ✓

הוכחה אלגברית:

נניח \(2^{x_1} = 2^{x_2}\)

נקח לוגריתם:

\(\log_2(2^{x_1}) = \log_2(2^{x_2})\)

\(x_1 = x_2\) ✓

חד-חד ערכית!

y = 0 (אסימפטוטה)חיתוך אחד! ✓
הכלל הכללי:

\(f(x) = a^x\) חד-חד אם ורק אם \(a \neq 1\)

• אם \(a > 1\): עולה ממש ⇒ חד-חד ✓
• אם \(0 < a < 1\): יורדת ממש ⇒ חד-חד ✓
• אם \(a = 1\): קבועה ⇒ לא חד-חד ✗

דוגמאות:

• \(2^x\) - חד-חד ✓
• \(e^x\) - חד-חד ✓
• \((\frac{1}{2})^x\) - חד-חד ✓
• \(1^x = 1\) - לא חד-חד ✗
שאלה 7
10.00 נק'

÷ רציונלית:

האם \(f(x) = \frac{1}{x}\) (תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)) חד-חד ערכית?

הסבר:
÷ רציונלית - טריק!

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{x}\)

תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

⚠️ טעות נפוצה:

אומרים: "\(f(1) = f(-1) = 1\)"

לא נכון! ✗

\(f(1) = \frac{1}{1} = 1\)
\(f(-1) = \frac{1}{-1} = -1\)

\(1 \neq -1\) - ערכים שונים! ✓

בדיקה נכונה:

נניח \(f(x_1) = f(x_2)\):

\(\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}\)

כפל ב-\(x_1 x_2\):

\(x_2 = x_1\) ✓

לכן כן חד-חד ערכית!

חיתוך אחד! ✓חיתוך אחד! ✓
למה היא חד-חד?

על כל חצי (\((0,\infty)\) או \((-\infty,0)\)):
הפונקציה יורדת ממש

וכל קו אופקי חותך לכל היותר פעם אחת!

אבל...

על \((0, \infty)\) בלבד:
חד-חד וגם על (לכל y בטווח)

על \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\):
חד-חד אבל לא על (ערכים חיוביים ושליליים)
שאלה 8
10.00 נק'

³ קוביה:

האם \(f(x) = x^3\) חד-חד ערכית?

הסבר:
³ קוביה

הפונקציה:

\(f(x) = x^3\)

בדיקה:

האם עולה ממש?

לכל \(x_1 < x_2\):

אם \(x_1 < x_2\):
⇒ \(x_1^3 < x_2^3\) ✓

(חזקה שלישית משמרת סדר!)

לכן \(x^3\) עולה ממש

⇒ חד-חד ערכית! ✓

הוכחה אלגברית:

נניח \(x_1^3 = x_2^3\)

נקח שורש שלישי:

\(\sqrt[3]{x_1^3} = \sqrt[3]{x_2^3}\)

\(x_1 = x_2\) ✓

(שורש שלישי מוגדר היטב לכל מספר!)

נקודת פיתולחיתוך אחד! ✓
השוואה ל-\(x^2\):

\(x^2\): חזקה זוגית
• \((-x)^2 = x^2\)
• לא חד-חד ✗

\(x^3\): חזקה אי-זוגית
• \((-x)^3 = -x^3\)
• כן חד-חד ✓

הכלל:

\(f(x) = x^n\)

• \(n\) אי-זוגי: חד-חד ✓
• \(n\) זוגי: לא חד-חד (על \(\mathbb{R}\)) ✗
שאלה 9
10.00 נק'

∘ הרכבה:

אם \(f\) ו-\(g\) שתיהן חד-חד ערכיות, האם \(f \circ g\) חד-חד ערכית?

הסבר:
∘ הרכבת פונקציות

משפט:

אם \(f\) ו-\(g\) שתיהן חד-חד ערכיות,

אז \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

גם חד-חד ערכית! ✓

הוכחה:

נניח \((f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2)\)

\(f(g(x_1)) = f(g(x_2))\)

כיוון ש-\(f\) חד-חד:
\(g(x_1) = g(x_2)\)

כיוון ש-\(g\) חד-חד:
\(x_1 = x_2\) ✓

לכן \(f \circ g\) חד-חד ערכית!

דוגמה:

\(f(x) = 2x\) - חד-חד ✓
\(g(x) = x + 1\) - חד-חד ✓

\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(x+1) = 2x + 2\)

גם חד-חד! ✓

Xg(X)f(g(X))gf
⚠️ זכור:

אם \(f \circ g\) חד-חד,
זה לא מבטיח ש-\(f\) או \(g\) חד-חד!

דוגמה:
\(f(x) = x^2\) - לא חד-חד
\(g(x) = |x|\) - לא חד-חד

אבל \((f \circ g)(x) = |x|^2 = x^2\)
גם לא חד-חד...

סיכום:

• חד-חד + חד-חד = חד-חד ✓
• לא חד-חד + לא חד-חד = ? (תלוי)
• חד-חד + לא חד-חד = לא חד-חד ✗
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מה התנאי המספיק (אבל לא הכרחי) לחד-חד ערכיות?

הסבר:
📚 סיכום - חד-חד ערכיות

הגדרה:

\(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)

כל y מתקבל מ-x אחד לכל היותר!

שיטות בדיקה:

שיטהאיך
אלגבריתהוכח: \(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\)
גרפיתמבחן קו אופקי
מונוטוניותבדוק אם עולה/יורדת ממש

תנאי מספיק:

אם \(f\) מונוטונית ממש ⇒ \(f\) חד-חד ✓

(אבל לא הכרחי!)

דוגמאות חד-חד:

• כל לינארית (\(ax+b, a\neq 0\))
• כל מעריכית (\(a^x, a\neq 1\))
• \(x^3, x^5, x^7, ...\) (חזקות אי-זוגיות)
• \(\frac{1}{x}\) על \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
• \(\ln(x)\)

דוגמאות לא חד-חד:

• כל ריבועית על \(\mathbb{R}\) (\(x^2, x^4, ...\))
• פונקציות קבועות
• \(\sin(x), \cos(x)\) על \(\mathbb{R}\)
• \(|x|\)

⚠️ חשוב:

• חד-חד ≠ על
• אפשר להגביל תחום כדי לקבל חד-חד
• דוגמה: \(x^2\) על \([0,\infty)\) היא חד-חד!
• הרכבה של חד-חד היא חד-חד
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו