אורח מצב צפייה מבחן: התפלגות הדגימה ומשפט הגבול המרכזי

"רכשתי קורס בסטטיסטיקה אחרי המלצות רבות ועכשיו אני מבין את הביקורות הטובות.... הקורס מאוד ידידותי עם חזרה על החומר והסברים מאוד איכותיים."

התפלגות הדגימה ומשפט הגבול המרכזי

מבחן התפלגות הדגימה ומשפט הגבול המרכזי - CLT, התפלגות ממוצע המדגם, שגיאת תקן. סטטיסטיקה אקדמית מתקדמת.

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד

מספר שאלות: 100

ניקוד כולל: 600 נק'

שאלה 1

2.00 נק'

📊 מושגי יסוד:
חוקר רוצה לבדוק את הגובה הממוצע של כל תושבי ישראל.

מהי האוכלוסייה במחקר זה?

הגובה הממוצע

כל תושבי ישראל

החוקר עצמו

100 אנשים שנבחרו לסקר

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהי אוכלוסייה? 🔍

הסבר יומיומי:

🌍 אוכלוסייה = כל הפריטים שמעניינים אותנו

זה כמו לשאול: "על מי בדיוק אני רוצה לדעת?"

אם אני חוקר גובה של ישראלים -
כל הישראלים הם האוכלוסייה!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

אוכלוסייה (Population):

קבוצת כל הפריטים או האנשים שעליהם רוצים להסיק מסקנות

מסומנת באות: N

פרמטרים של אוכלוסייה:
• ממוצע: μ (מיו)
• סטיית תקן: σ (סיגמא)

תשובה נכונה: כל תושבי ישראל

שאלה 2

10.00 נק'

📊 מושגי יסוד:
חוקר רוצה לבדוק את הגובה הממוצע של כל תושבי ישראל.

מהי האוכלוסייה במחקר זה?

הגובה הממוצע

100 אנשים שנבחרו לסקר

החוקר עצמו

כל תושבי ישראל

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהי אוכלוסייה? 🔍

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

תשובה נכונה: כל תושבי ישראל

שאלה 3

10.00 נק'

📊 מושגי יסוד:
חוקר בחר 200 תלמידים מתוך כל תלמידי התיכון בארץ כדי לבדוק ממוצע ציונים.

מהו המדגם במחקר זה?

200 התלמידים שנבחרו

בתי הספר

כל תלמידי התיכון בארץ

ממוצע הציונים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו מדגם? 🔍

הסבר יומיומי:

🔬 מדגם = קבוצה קטנה שבחרנו מתוך האוכלוסייה

זה כמו לטעום כפית מהסיר -
לא צריך לאכול את כל הסיר כדי לדעת מה הטעם!

המדגם מייצג את האוכלוסייה

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

מדגם (Sample):

תת-קבוצה של האוכלוסייה שנבחרה למחקר

מסומן באות: n

סטטיסטיקות של מדגם:
• ממוצע מדגם: x̄ (איקס עם קו)
• סטיית תקן מדגם: s

תשובה נכונה: 200 התלמידים שנבחרו

שאלה 4

2.00 נק'

📊 מושגי יסוד:
חוקר בחר 200 תלמידים מתוך כל תלמידי התיכון בארץ כדי לבדוק ממוצע ציונים.

מהו המדגם במחקר זה?

כל תלמידי התיכון בארץ

200 התלמידים שנבחרו

ממוצע הציונים

בתי הספר

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו מדגם? 🔍

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

תשובה נכונה: 200 התלמידים שנבחרו

שאלה 5

2.00 נק'

📊 פרמטר וסטטיסטי:
הממוצע של כל האוכלוסייה מסומן ב-μ.
הממוצע של המדגם מסומן ב-x̄.

איזה מהבאים הוא פרמטר?

s - סטיית תקן המדגם

n - גודל המדגם

x̄ - ממוצע המדגם

μ - ממוצע האוכלוסייה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההבדל המהותי 🔍

הסבר יומיומי:

🔒 פרמטר = מספר שמתאר את האוכלוסייה
זה מספר קבוע (אבל בדרך כלל לא ידוע לנו!)

📊 סטטיסטי = מספר שמתאר את המדגם
זה מספר משתנה (תלוי באיזה מדגם בחרנו)

שלב 2: טבלת השוואה 📊

שלב 3: כלל זכירה 🎯

טריק לזכירה:

🇬🇷 אות יוונית (μ, σ) = פרמטר (אוכלוסייה)
🔤 אות לטינית (x̄, s) = סטטיסטי (מדגם)

דוגמה:
• μ = 170 ס"מ (גובה ממוצע של כל הישראלים) - פרמטר
• x̄ = 172 ס"מ (גובה ממוצע של 100 אנשים שמדדנו) - סטטיסטי

תשובה נכונה: μ - ממוצע האוכלוסייה

שאלה 6

10.00 נק'

📊 פרמטר וסטטיסטי:
הממוצע של כל האוכלוסייה מסומן ב-μ.
הממוצע של המדגם מסומן ב-x̄.

איזה מהבאים הוא פרמטר?

n - גודל המדגם

s - סטיית תקן המדגם

μ - ממוצע האוכלוסייה

x̄ - ממוצע המדגם

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההבדל המהותי 🔍

שלב 2: טבלת השוואה 📊

שלב 3: כלל זכירה 🎯

תשובה נכונה: μ - ממוצע האוכלוסייה

שאלה 7

10.00 נק'

📊 התפלגות דגימה:
נניח שלוקחים הרבה מדגמים בגודל n מאותה אוכלוסייה, ומחשבים את הממוצע של כל מדגם.

מהי "התפלגות הדגימה של הממוצע"?

הממוצע של מדגם אחד

התפלגות הערכים באוכלוסייה

התפלגות הערכים במדגם אחד

התפלגות כל הממוצעים האפשריים של מדגמים

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הרעיון המרכזי 🔍

הסבר יומיומי:

דמיינו שאתם עושים ניסוי:

1️⃣ לוקחים מדגם של 50 אנשים → מחשבים ממוצע גובה
2️⃣ לוקחים עוד מדגם של 50 אנשים → מחשבים ממוצע גובה
3️⃣ וחוזרים על זה הרבה פעמים...

התפלגות הדגימה = כל הממוצעים האלה ביחד!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

התפלגות הדגימה (Sampling Distribution):

ההתפלגות של סטטיסטי (כמו ממוצע) כאשר לוקחים כל המדגמים האפשריים בגודל n מאוכלוסייה

במילים פשוטות:
אם נקח אינסוף מדגמים ונחשב ממוצע לכל אחד -
נקבל התפלגות חדשה של כל הממוצעים האלה!

תשובה נכונה: התפלגות כל הממוצעים האפשריים של מדגמים

שאלה 8

2.00 נק'

התפלגות הערכים במדגם אחד

התפלגות כל הממוצעים האפשריים של מדגמים

הממוצע של מדגם אחד

התפלגות הערכים באוכלוסייה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הרעיון המרכזי 🔍

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

תשובה נכונה: התפלגות כל הממוצעים האפשריים של מדגמים

שאלה 9

2.00 נק'

📊 תכונות התפלגות הדגימה:
אם ממוצע האוכלוסייה הוא μ = 100,
מהי התוחלת (הממוצע) של התפלגות הדגימה של הממוצע?

תלוי בגודל המדגם

100

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: התכונה המדהימה 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 כשלוקחים הרבה מדגמים ומחשבים ממוצע לכל אחד:

• חלק מהממוצעים יהיו קצת מעל μ
• חלק יהיו קצת מתחת ל-μ
• אבל בממוצע - נקבל בדיוק את μ!

הממוצע של הממוצעים = ממוצע האוכלוסייה!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: נוסחה ומשמעות 🎯

התכונה הראשונה של התפלגות הדגימה:

E(X̄) = μ

משמעות:
התוחלת של ממוצע המדגם שווה לממוצע האוכלוסייה

למה זה חשוב?
זה אומר שממוצע המדגם הוא אומדן חסר הטיה (unbiased) לממוצע האוכלוסייה!

תשובה נכונה: 100

שאלה 10

10.00 נק'

📊 תכונות התפלגות הדגימה:
אם ממוצע האוכלוסייה הוא μ = 100,
מהי התוחלת (הממוצע) של התפלגות הדגימה של הממוצע?

תלוי בגודל המדגם

100

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: התכונה המדהימה 🔍

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: נוסחה ומשמעות 🎯

תשובה נכונה: 100

שאלה 11

10.00 נק'

📊 שגיאת התקן:
אם סטיית התקן של האוכלוסייה היא σ = 20 וגודל המדגם הוא n = 100,

מהי שגיאת התקן של ממוצע המדגם?

200

0.2

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהי שגיאת התקן? 🔍

הסבר יומיומי:

📏 שגיאת התקן = כמה הממוצעים של מדגמים שונים "מתפזרים" סביב μ

• אם שגיאת התקן קטנה → הממוצעים קרובים ל-μ (מדויק!)
• אם שגיאת התקן גדולה → הממוצעים מפוזרים (פחות מדויק)

ככל שהמדגם גדול יותר - שגיאת התקן קטנה יותר!

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: המחשה גרפית 🎯

שלב 4: משמעות 💡

מה למדנו?

✅ שגיאת התקן = 2 אומר שממוצעי המדגמים בדרך כלל נמצאים
במרחק של כ-2 יחידות מ-μ

✅ מדגם של 100 מדויק פי 10 ממדגם של 1!
(כי √100 = 10)

תשובה נכונה: 2

שאלה 12

2.00 נק'

📊 שגיאת התקן:
אם סטיית התקן של האוכלוסייה היא σ = 20 וגודל המדגם הוא n = 100,

מהי שגיאת התקן של ממוצע המדגם?

0.2

200

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהי שגיאת התקן? 🔍

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: המחשה גרפית 🎯

שלב 4: משמעות 💡

תשובה נכונה: 2

שאלה 13

2.00 נק'

📊 גודל המדגם:
מה קורה לשגיאת התקן של ממוצע המדגם כשמגדילים את גודל המדגם פי 4?

שגיאת התקן לא משתנה

שגיאת התקן גדלה פי 2

שגיאת התקן קטנה פי 4

שגיאת התקן קטנה פי 2

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הקשר עם השורש 🔍

הסבר יומיומי:

🔑 המפתח נמצא בנוסחה: SE = σ/√n

שימו לב: n נמצא תחת שורש!

לכן:
• אם n גדל פי 4 → √n גדל פי √4 = 2
• ואז SE קטן פי 2

כדי להקטין שגיאת התקן פי 2, צריך להגדיל את n פי 4!

שלב 2: דוגמה מספרית 📊

שלב 3: כלל הזהב 🎯

כלל חשוב לזכירה:

כדי להקטין את שגיאת התקן פי k,
צריך להגדיל את גודל המדגם פי k²

להקטין SE פי 2 → להגדיל n פי 4
להקטין SE פי 3 → להגדיל n פי 9
להקטין SE פי 10 → להגדיל n פי 100

תשובה נכונה: שגיאת התקן קטנה פי 2

שאלה 14

10.00 נק'

📊 גודל המדגם:
מה קורה לשגיאת התקן של ממוצע המדגם כשמגדילים את גודל המדגם פי 4?

שגיאת התקן קטנה פי 2

שגיאת התקן קטנה פי 4

שגיאת התקן גדלה פי 2

שגיאת התקן לא משתנה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הקשר עם השורש 🔍

שלב 2: דוגמה מספרית 📊

שלב 3: כלל הזהב 🎯

תשובה נכונה: שגיאת התקן קטנה פי 2

שאלה 15

10.00 נק'

📊 צורת ההתפלגות:
באיזה מקרה התפלגות הדגימה של הממוצע תהיה נורמלית בוודאות?

תמיד, ללא תלות באוכלוסייה

רק כשגודל המדגם גדול מ-30

כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

רק כשהמדגם קטן מ-30

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שני מקרים שונים 🔍

מתי התפלגות הדגימה נורמלית?

🎯 מקרה 1: האוכלוסייה נורמלית
→ התפלגות הדגימה תמיד נורמלית (לכל n!)

🎯 מקרה 2: האוכלוסייה לא נורמלית
→ התפלגות הדגימה בקירוב נורמלית (רק אם n גדול מספיק)

רק במקרה 1 יש וודאות מלאה!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: סיכום 🎯

התנאים להתפלגות נורמלית:

✅ וודאות מלאה: אוכלוסייה נורמלית → התפלגות דגימה נורמלית לכל n

⚠️ קירוב (משפט הגבול המרכזי): אוכלוסייה כלשהי + n גדול מספיק → בקירוב נורמלית

תשובה נכונה: כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

שאלה 16

2.00 נק'

📊 צורת ההתפלגות:
באיזה מקרה התפלגות הדגימה של הממוצע תהיה נורמלית בוודאות?

רק כשהמדגם קטן מ-30

כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

תמיד, ללא תלות באוכלוסייה

רק כשגודל המדגם גדול מ-30

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שני מקרים שונים 🔍

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: סיכום 🎯

תשובה נכונה: כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

שאלה 17

2.00 נק'

📊 סימונים:
אם X̄ הוא ממוצע המדגם, μ ממוצע האוכלוסייה, ו-σ סטיית התקן של האוכלוסייה,

איך מסמנים את התפלגות הדגימה של X̄?

X̄ ~ N(μ, σ²)

X̄ ~ N(μ, σ)

X̄ ~ N(0, 1)

X̄ ~ N(μ, σ²/n)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק הסימון 🔍

הסבר הסימון:

📝 X̄ ~ N(μ, σ²/n) אומר:

• X̄ מתפלג נורמלית
• התוחלת היא μ (ממוצע האוכלוסייה)
• השונות היא σ²/n
• (ולכן סטיית התקן היא σ/√n)

שלב 2: למה כל תשובה אחרת שגויה 📊

שלב 3: סיכום הנוסחאות 🎯

התפלגות הדגימה של X̄:

X̄ ~ N(μ, σ²/n)

או באופן שקול:
• תוחלת: E(X̄) = μ
• שונות: Var(X̄) = σ²/n
• סטיית תקן (שגיאת תקן): SE = σ/√n

תשובה נכונה: X̄ ~ N(μ, σ²/n)

שאלה 18

10.00 נק'

X̄ ~ N(μ, σ²/n)

X̄ ~ N(μ, σ)

X̄ ~ N(μ, σ²)

X̄ ~ N(0, 1)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פירוק הסימון 🔍

שלב 2: למה כל תשובה אחרת שגויה 📊

שלב 3: סיכום הנוסחאות 🎯

תשובה נכונה: X̄ ~ N(μ, σ²/n)

שאלה 19

10.00 נק'

📊 חישוב:
באוכלוסייה מסוימת הממוצע הוא μ = 50 וסטיית התקן היא σ = 15.
נדגמו n = 36 תצפיות.

מהי שגיאת התקן של ממוצע המדגם?

0.42

2.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:

• ממוצע האוכלוסייה: μ = 50 (לא משפיע על שגיאת התקן)
• סטיית תקן האוכלוסייה: σ = 15
• גודל המדגם: n = 36

שלב 2: חישוב שגיאת התקן 📊

שלב 3: משמעות התוצאה 🎯

מה המשמעות?

שגיאת תקן של 2.5 אומרת:

• ממוצעי המדגמים "מתפזרים" סביב μ=50
• רוב הממוצעים יהיו במרחק של עד 2.5 יחידות מ-50
• כלומר: בדרך כלל בין 47.5 ל-52.5

תשובה נכונה: 2.5

שאלה 20

2.00 נק'

2.5

0.42

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:

• ממוצע האוכלוסייה: μ = 50 (לא משפיע על שגיאת התקן)
• סטיית תקן האוכלוסייה: σ = 15
• גודל המדגם: n = 36

שלב 2: חישוב שגיאת התקן 📊

שלב 3: משמעות התוצאה 🎯

תשובה נכונה: 2.5

שאלה 21

2.00 נק'

📊 משפט הגבול המרכזי (CLT):

מה קובע משפט הגבול המרכזי?

כשגודל המדגם גדול, התפלגות ממוצע המדגם מתקרבת לנורמלית

ממוצע המדגם תמיד שווה לממוצע האוכלוסייה

כל אוכלוסייה מתפלגת נורמלית

סטיית התקן של המדגם שווה לסטיית התקן של האוכלוסייה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הרעיון המדהים 🔍

הסבר יומיומי:

🌟 משפט הגבול המרכזי הוא אחד המשפטים הכי חשובים בסטטיסטיקה!

הוא אומר:
לא משנה איך נראית האוכלוסייה המקורית -
אם נקח מדגמים גדולים מספיק ונחשב ממוצע,
ההתפלגות של הממוצעים תהיה נורמלית!

זה עובד גם אם האוכלוסייה מוזרה לגמרי!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: ניסוח פורמלי 🎯

משפט הגבול המרכזי (Central Limit Theorem):

אם X₁, X₂, ..., Xₙ דגימה אקראית מאוכלוסייה עם תוחלת μ ושונות σ² סופית,

אזי כאשר n → ∞:

(X̄ - μ) / (σ/√n) → N(0,1)

בפועל: עבור n ≥ 30 הקירוב בדרך כלל מספיק טוב

תשובה נכונה: כשגודל המדגם גדול, התפלגות ממוצע המדגם מתקרבת לנורמלית

שאלה 22

10.00 נק'

📊 משפט הגבול המרכזי (CLT):

מה קובע משפט הגבול המרכזי?

כשגודל המדגם גדול, התפלגות ממוצע המדגם מתקרבת לנורמלית

ממוצע המדגם תמיד שווה לממוצע האוכלוסייה

כל אוכלוסייה מתפלגת נורמלית

סטיית התקן של המדגם שווה לסטיית התקן של האוכלוסייה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הרעיון המדהים 🔍

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: ניסוח פורמלי 🎯

תשובה נכונה: כשגודל המדגם גדול, התפלגות ממוצע המדגם מתקרבת לנורמלית

שאלה 23

10.00 נק'

📊 שימוש ב-CLT:
באיזה מקרה לא צריך להסתמך על משפט הגבול המרכזי כדי לדעת שהתפלגות X̄ נורמלית?

כשגודל המדגם גדול מ-30

כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

כשהממוצע ידוע

כשסטיית התקן ידועה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההבדל החשוב 🔍

שני מסלולים להתפלגות נורמלית:

🔵 מסלול 1 - ישיר:
אוכלוסייה נורמלית → התפלגות X̄ נורמלית בוודאות
(לא צריך CLT, עובד לכל n!)

🟠 מסלול 2 - CLT:
אוכלוסייה כלשהי + n גדול → התפלגות X̄ בקירוב נורמלית
(צריך CLT, רק כשn גדול מספיק)

שלב 2: תרשים החלטה 📊

שלב 3: סיכום 🎯

מתי לא צריך CLT?

כשהאוכלוסייה המקורית כבר נורמלית!

במקרה זה, התפלגות X̄ נורמלית בדיוק (לא בקירוב)
וזה עובד לכל גודל מדגם - גם n=5 או n=10

תשובה נכונה: כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

שאלה 24

2.00 נק'

📊 שימוש ב-CLT:
באיזה מקרה לא צריך להסתמך על משפט הגבול המרכזי כדי לדעת שהתפלגות X̄ נורמלית?

כשהממוצע ידוע

כשגודל המדגם גדול מ-30

כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

כשסטיית התקן ידועה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההבדל החשוב 🔍

שלב 2: תרשים החלטה 📊

שלב 3: סיכום 🎯

תשובה נכונה: כשהאוכלוסייה המקורית מתפלגת נורמלית

שאלה 25

2.00 נק'

📊 גודל מדגם מינימלי:
מהו גודל המדגם המינימלי המקובל כדי להשתמש במשפט הגבול המרכזי?

n ≥ 30

n ≥ 5

n ≥ 100

n ≥ 10

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כלל האצבע 🔍

הסבר יומיומי:

📏 n ≥ 30 הוא "כלל האצבע" המקובל

למה דווקא 30?
• זה מספר שנמצא מספיק גדול לרוב ההתפלגויות
• אבל לא גדול מדי לצרכים מעשיים

זו הערכה מקובלת, לא חוק מדויק!

שלב 2: מתי צריך יותר או פחות 📊

שלב 3: סיכום 🎯

לסיכום:

✅ n ≥ 30 - הכלל המקובל והנפוץ ביותר

⚠️ חריגים:
• אוכלוסייה סימטרית - מספיק n ≈ 15-20
• אוכלוסייה מאוד מוטה - צריך n > 50
• אוכלוסייה נורמלית - כל n מספיק!

תשובה נכונה: n ≥ 30

שאלה 26

10.00 נק'

📊 גודל מדגם מינימלי:
מהו גודל המדגם המינימלי המקובל כדי להשתמש במשפט הגבול המרכזי?

n ≥ 30

n ≥ 100

n ≥ 10

n ≥ 5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כלל האצבע 🔍

שלב 2: מתי צריך יותר או פחות 📊

שלב 3: סיכום 🎯

תשובה נכונה: n ≥ 30

שאלה 27

10.00 נק'

📊 תקנון:
אם X̄ ~ N(80, 16) (כאשר 16 היא השונות),

מהו הערך המתוקנן Z כאשר X̄ = 84?

Z = 2

Z = 4

Z = 0.25

Z = 1

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים מהשאלה:

• X̄ ~ N(80, 16)
• תוחלת: μ = 80
• שונות: σ² = 16 → סטיית תקן: σ = √16 = 4
• הערך שנצפה: X̄ = 84

שלב 2: נוסחת התקנון 📊

שלב 3: המשמעות 🎯

מה אומר Z = 1?

הערך X̄ = 84 נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע

במילים פשוטות:
84 גדול מ-80 במרחק של 4
וסטיית התקן היא 4
לכן המרחק הוא בדיוק סטיית תקן אחת

תשובה נכונה: Z = 1

שאלה 28

2.00 נק'

📊 תקנון:
אם X̄ ~ N(80, 16) (כאשר 16 היא השונות),

מהו הערך המתוקנן Z כאשר X̄ = 84?

Z = 0.25

Z = 2

Z = 1

Z = 4

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים מהשאלה:

• X̄ ~ N(80, 16)
• תוחלת: μ = 80
• שונות: σ² = 16 → סטיית תקן: σ = √16 = 4
• הערך שנצפה: X̄ = 84

שלב 2: נוסחת התקנון 📊

שלב 3: המשמעות 🎯

תשובה נכונה: Z = 1

שאלה 29

2.00 נק'

📊 חישוב הסתברות:
ממוצע האוכלוסייה μ = 100, סטיית תקן σ = 20, גודל מדגם n = 100.

מה ההסתברות ש-X̄ > 102?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

0.8413

0.1587

0.5

0.3413

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים:
• μ = 100, σ = 20, n = 100

שגיאת התקן:
SE = σ/√n = 20/√100 = 20/10 = 2

שלב 2: תקנון 📊

שלב 3: חישוב ההסתברות 🎯

שלב 4: סיכום 💡

תהליך הפתרון:

1. חישבנו SE = 2
2. תקננו: Z = (102-100)/2 = 1
3. P(X̄ > 102) = P(Z > 1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

תשובה נכונה: 0.1587

שאלה 30

10.00 נק'

0.3413

0.1587

0.5

0.8413

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים:
• μ = 100, σ = 20, n = 100

שגיאת התקן:
SE = σ/√n = 20/√100 = 20/10 = 2

שלב 2: תקנון 📊

שלב 3: חישוב ההסתברות 🎯

שלב 4: סיכום 💡

תהליך הפתרון:

1. חישבנו SE = 2
2. תקננו: Z = (102-100)/2 = 1
3. P(X̄ > 102) = P(Z > 1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

תשובה נכונה: 0.1587

שאלה 31

10.00 נק'

📊 הסתברות דו-צדדית:
X̄ מתפלג נורמלית עם תוחלת 50 ושגיאת תקן 5.

מה ההסתברות ש-X̄ יהיה בין 45 ל-55?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

0.9544

0.6826

0.3413

0.8413

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תקנון שני הערכים 🔍

נתונים: μ = 50, SE = 5

תקנון הגבול התחתון:
Z₁ = (45 - 50) / 5 = -5/5 = -1

תקנון הגבול העליון:
Z₂ = (55 - 50) / 5 = 5/5 = 1

שלב 2: המחשה גרפית 📊

שלב 3: חישוב ההסתברות 🎯

חישוב:

P(45 < X̄ < 55) = P(-1 < Z < 1)

P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1)

מסימטריה: P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

לכן:
P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826

שלב 4: כלל 68-95-99.7 💡

כלל אמפירי לזכירה:

• 68% מהערכים נמצאים בטווח של ±1 סטיות תקן
• 95% מהערכים נמצאים בטווח של ±2 סטיות תקן
• 99.7% מהערכים נמצאים בטווח של ±3 סטיות תקן

התוצאה 0.6826 ≈ 68% מאשרת זאת!

תשובה נכונה: 0.6826

שאלה 32

2.00 נק'

0.8413

0.3413

0.6826

0.9544

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תקנון שני הערכים 🔍

נתונים: μ = 50, SE = 5

תקנון הגבול התחתון:
Z₁ = (45 - 50) / 5 = -5/5 = -1

תקנון הגבול העליון:
Z₂ = (55 - 50) / 5 = 5/5 = 1

שלב 2: המחשה גרפית 📊

שלב 3: חישוב ההסתברות 🎯

שלב 4: כלל 68-95-99.7 💡

תשובה נכונה: 0.6826

שאלה 33

2.00 נק'

📊 שימוש בטבלה:
X̄ מתפלג נורמלית עם תוחלת 200 ושגיאת תקן 10.

מה ההסתברות ש-X̄ < 180?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

0.0228

0.5228

0.4772

0.9772

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תקנון 🔍

נתונים: μ = 200, SE = 10

תקנון:
Z = (180 - 200) / 10 = -20/10 = -2

אנחנו מחפשים: P(X̄ < 180) = P(Z < -2)

שלב 2: שימוש בסימטריה 📊

שלב 3: חישוב 🎯

שימוש בסימטריה:

P(Z < -2) = P(Z > 2) (מסימטריה!)

P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772

P(Z < -2) = 0.0228

שלב 4: טריק לזכירה 💡

כלל הסימטריה:

P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)

זה עובד כי ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב 0!

תשובה נכונה: 0.0228

שאלה 34

10.00 נק'

📊 שימוש בטבלה:
X̄ מתפלג נורמלית עם תוחלת 200 ושגיאת תקן 10.

מה ההסתברות ש-X̄ < 180?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

0.9772

0.0228

0.4772

0.5228

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תקנון 🔍

נתונים: μ = 200, SE = 10

תקנון:
Z = (180 - 200) / 10 = -20/10 = -2

אנחנו מחפשים: P(X̄ < 180) = P(Z < -2)

שלב 2: שימוש בסימטריה 📊

שלב 3: חישוב 🎯

שימוש בסימטריה:

P(Z < -2) = P(Z > 2) (מסימטריה!)

P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772

P(Z < -2) = 0.0228

שלב 4: טריק לזכירה 💡

כלל הסימטריה:

P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)

זה עובד כי ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב 0!

תשובה נכונה: 0.0228

שאלה 35

10.00 נק'

📊 ערך קריטי:
ממוצע האוכלוסייה μ = 500, סטיית תקן σ = 100, גודל מדגם n = 25.

מהו הערך x כך ש-P(X̄ > x) = 0.05?

(נתון: Z₀.₀₅ = 1.645)

500

664.5

516.45

532.9

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים:
• μ = 500, σ = 100, n = 25

שגיאת התקן:
SE = σ/√n = 100/√25 = 100/5 = 20

שלב 2: מציאת הערך הקריטי 📊

שלב 3: חישוב x 🎯

הפיכת נוסחת התקנון:

אם P(X̄ > x) = 0.05, אז P(Z > z) = 0.05
מהטבלה: z = 1.645

מנוסחת התקנון:
z = (x - μ) / SE

1.645 = (x - 500) / 20

x - 500 = 1.645 × 20 = 32.9

x = 532.9

תשובה נכונה: 532.9

שאלה 36

2.00 נק'

500

532.9

664.5

516.45

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים:
• μ = 500, σ = 100, n = 25

שגיאת התקן:
SE = σ/√n = 100/√25 = 100/5 = 20

שלב 2: מציאת הערך הקריטי 📊

שלב 3: חישוב x 🎯

תשובה נכונה: 532.9

שאלה 37

2.00 נק'

📊 השפעת גודל המדגם:
מה קורה להסתברות P(|X̄ - μ| < k) כשמגדילים את גודל המדגם?
(כאשר k קבוע כלשהו)

ההסתברות גדלה

ההסתברות קטנה

ההסתברות לא משתנה

תלוי בערך של k

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההיגיון 🔍

הסבר יומיומי:

כשמגדילים את n:
• שגיאת התקן SE = σ/√n קטנה
• ההתפלגות נהיית צרה יותר
• יותר ערכים נופלים קרוב ל-μ

לכן ההסתברות להיות בטווח קבוע גדלה!

שלב 2: המחשה גרפית 📊

שלב 3: הוכחה מתמטית 🎯

למה ההסתברות גדלה?

P(|X̄ - μ| < k) = P(-k/SE < Z < k/SE)

כש-n גדל → SE קטן → k/SE גדל

טווח גדול יותר סביב 0 = הסתברות גדולה יותר!

תשובה נכונה: ההסתברות גדלה

שאלה 38

10.00 נק'

📊 השפעת גודל המדגם:
מה קורה להסתברות P(|X̄ - μ| < k) כשמגדילים את גודל המדגם?
(כאשר k קבוע כלשהו)

תלוי בערך של k

ההסתברות גדלה

ההסתברות קטנה

ההסתברות לא משתנה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההיגיון 🔍

שלב 2: המחשה גרפית 📊

שלב 3: הוכחה מתמטית 🎯

תשובה נכונה: ההסתברות גדלה

שאלה 39

10.00 נק'

📊 CLT לסכום:
אם X₁, X₂, ..., Xₙ דגימה מאוכלוסייה עם תוחלת μ ושונות σ²,
מה התוחלת והשונות של הסכום S = X₁ + X₂ + ... + Xₙ?

E(S) = μ/n, Var(S) = nσ²

E(S) = nμ, Var(S) = σ²/n

E(S) = nμ, Var(S) = nσ²

E(S) = μ, Var(S) = σ²

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונות הסכום 🔍

הסבר יומיומי:

אם כל X יש תוחלת μ ו-n תצפיות...

🎯 תוחלת הסכום:
מחברים n פעמים את μ → E(S) = nμ

🎯 שונות הסכום:
שונות מתחברת (כשהמשתנים בלתי תלויים)
→ Var(S) = nσ²

שלב 2: השוואה לממוצע 📊

שלב 3: הקשר ביניהם 🎯

הקשר בין סכום לממוצע:

X̄ = S/n

E(X̄) = E(S)/n = nμ/n = μ ✓

Var(X̄) = Var(S)/n² = nσ²/n² = σ²/n ✓

תשובה נכונה: E(S) = nμ, Var(S) = nσ²

שאלה 40

2.00 נק'

E(S) = nμ, Var(S) = σ²/n

E(S) = μ, Var(S) = σ²

E(S) = nμ, Var(S) = nσ²

E(S) = μ/n, Var(S) = nσ²

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונות הסכום 🔍

שלב 2: השוואה לממוצע 📊

שלב 3: הקשר ביניהם 🎯

הקשר בין סכום לממוצע:

X̄ = S/n

E(X̄) = E(S)/n = nμ/n = μ ✓

Var(X̄) = Var(S)/n² = nσ²/n² = σ²/n ✓

תשובה נכונה: E(S) = nμ, Var(S) = nσ²

שאלה 41

2.00 נק'

📊 חישוב עם סכום:
ציוני מבחן מתפלגים עם ממוצע 75 וסטיית תקן 10.
סכום ציונים של 36 תלמידים שנבחרו באקראי.

מהי התוחלת של הסכום?

360

270

2700

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
• ממוצע ציון: μ = 75
• סטיית תקן: σ = 10
• מספר תלמידים: n = 36

מחפשים: E(S) = ?

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: משמעות 🎯

מה זה אומר?

בממוצע, סכום הציונים של 36 תלמידים יהיה 2700

זה הגיוני: 36 תלמידים × 75 נקודות בממוצע = 2700 נקודות

תשובה נכונה: 2700

שאלה 42

10.00 נק'

360

2700

270

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
• ממוצע ציון: μ = 75
• סטיית תקן: σ = 10
• מספר תלמידים: n = 36

מחפשים: E(S) = ?

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: משמעות 🎯

מה זה אומר?

בממוצע, סכום הציונים של 36 תלמידים יהיה 2700

זה הגיוני: 36 תלמידים × 75 נקודות בממוצע = 2700 נקודות

תשובה נכונה: 2700

שאלה 43

10.00 נק'

📊 סטיית תקן של סכום:
ציוני מבחן מתפלגים עם ממוצע 75 וסטיית תקן 10.
סכום ציונים של 36 תלמידים שנבחרו באקראי.

מהי סטיית התקן של הסכום?

1.67

360

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת השונות 🔍

זכרו:

Var(S) = nσ²

לכן:
SD(S) = √(nσ²) = σ√n

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: השוואה 🎯

שימו לב להבדל:

• סטיית תקן של סכום: SD(S) = σ√n = 10×6 = 60
• שגיאת תקן של ממוצע: SE = σ/√n = 10/6 = 1.67

הסכום הרבה יותר "מפוזר" מהממוצע!

תשובה נכונה: 60

שאלה 44

2.00 נק'

1.67

360

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת השונות 🔍

זכרו:

Var(S) = nσ²

לכן:
SD(S) = √(nσ²) = σ√n

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: השוואה 🎯

תשובה נכונה: 60

שאלה 45

2.00 נק'

📊 אומדן חסר הטיה:
למה ממוצע המדגם X̄ נחשב "אומדן חסר הטיה" (unbiased) לממוצע האוכלוסייה μ?

כי E(X̄) = μ

כי Var(X̄) = 0

כי X̄ תמיד שווה ל-μ

כי X̄ קטן מ-μ

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו אומדן חסר הטיה? 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 אומדן חסר הטיה = אומדן שבממוצע "פוגע במטרה"

זה לא אומר שכל מדגם יתן בדיוק את μ!
אבל בממוצע על פני הרבה מדגמים - נקבל את μ

אין "נטייה" שיטתית לצד אחד

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: הגדרה פורמלית 🎯

הגדרה:

אומדן θ̂ הוא חסר הטיה לפרמטר θ אם:

E(θ̂) = θ

עבור ממוצע המדגם: E(X̄) = μ ✓
לכן X̄ הוא אומדן חסר הטיה ל-μ

תשובה נכונה: כי E(X̄) = μ

שאלה 46

10.00 נק'

📊 אומדן חסר הטיה:
למה ממוצע המדגם X̄ נחשב "אומדן חסר הטיה" (unbiased) לממוצע האוכלוסייה μ?

כי X̄ קטן מ-μ

כי E(X̄) = μ

כי X̄ תמיד שווה ל-μ

כי Var(X̄) = 0

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו אומדן חסר הטיה? 🔍

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

שלב 3: הגדרה פורמלית 🎯

הגדרה:

אומדן θ̂ הוא חסר הטיה לפרמטר θ אם:

E(θ̂) = θ

עבור ממוצע המדגם: E(X̄) = μ ✓
לכן X̄ הוא אומדן חסר הטיה ל-μ

תשובה נכונה: כי E(X̄) = μ

שאלה 47

10.00 נק'

📊 עקביות של אומדן:
מה קורה לממוצע המדגם X̄ כשגודל המדגם n שואף לאינסוף?

X̄ מתכנס ל-0

X̄ לא משתנה

X̄ מתבדר לאינסוף

X̄ מתכנס לממוצע האוכלוסייה μ

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חוק המספרים הגדולים 🔍

הסבר יומיומי:

🎲 דמיינו הטלת קובייה:

• 10 הטלות: ממוצע יכול להיות רחוק מ-3.5
• 100 הטלות: ממוצע קרוב יותר ל-3.5
• 1000 הטלות: ממוצע קרוב מאוד ל-3.5
• ∞ הטלות: ממוצע = בדיוק 3.5!

ככל שיש יותר נתונים - הממוצע מתקרב ל-μ!

שלב 2: המחשה גרפית 📊

שלב 3: ניסוח מתמטי 🎯

חוק המספרים הגדולים (Law of Large Numbers):

כש-n → ∞:

X̄ →ₚ μ

(X̄ מתכנס בהסתברות ל-μ)

אומדן שמתנהג כך נקרא אומדן עקבי (consistent)

תשובה נכונה: X̄ מתכנס לממוצע האוכלוסייה μ

שאלה 48

2.00 נק'

📊 עקביות של אומדן:
מה קורה לממוצע המדגם X̄ כשגודל המדגם n שואף לאינסוף?

X̄ מתבדר לאינסוף

X̄ לא משתנה

X̄ מתכנס ל-0

X̄ מתכנס לממוצע האוכלוסייה μ

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חוק המספרים הגדולים 🔍

שלב 2: המחשה גרפית 📊

שלב 3: ניסוח מתמטי 🎯

תשובה נכונה: X̄ מתכנס לממוצע האוכלוסייה μ

שאלה 49

2.00 נק'

📊 CLT לפרופורציה:
בסקר של 400 אנשים, 55% תמכו בהצעה מסוימת.
אם הפרופורציה האמיתית באוכלוסייה היא p = 0.5,

מהי שגיאת התקן של פרופורציית המדגם p̂?

0.025

0.05

0.0125

0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת שגיאת התקן לפרופורציה 🔍

נוסחה:

שגיאת התקן של פרופורציית המדגם:

SE(p̂) = √[p(1-p)/n]

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: משמעות 🎯

מה זה אומר?

שגיאת תקן של 0.025 (או 2.5%) אומרת:

• פרופורציות מדגמים יתפזרו בד"כ בטווח של ±2.5% מ-p
• כלומר: בין 47.5% ל-52.5% לרוב
• הסקר מדויק למדי!

תשובה נכונה: 0.025

שאלה 50

10.00 נק'

0.05

0.025

0.5

0.0125

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת שגיאת התקן לפרופורציה 🔍

נוסחה:

שגיאת התקן של פרופורציית המדגם:

SE(p̂) = √[p(1-p)/n]

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: משמעות 🎯

תשובה נכונה: 0.025

שאלה 51

10.00 נק'

📊 בעיית משקל:
משקל תפוחים מתפלג נורמלית עם ממוצע 150 גרם וסטיית תקן 20 גרם.
נבחרו 25 תפוחים באקראי.

מה ההסתברות שממוצע המשקל יעלה על 156 גרם?

(נתון: P(Z < 1.5) = 0.9332)

0.9332

0.3830

0.5

0.0668

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי נתונים וחישוב SE 🔍

נתונים:
• μ = 150 גרם, σ = 20 גרם, n = 25
• האוכלוסייה נורמלית → X̄ נורמלי בוודאות

שגיאת תקן:
SE = σ/√n = 20/√25 = 20/5 = 4 גרם

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

שלב 3: פרשנות 🎯

מה זה אומר?

יש סיכוי של כ-6.7% שממוצע משקל 25 תפוחים יעלה על 156 גרם

זה הגיוני - 156 הוא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע

תשובה נכונה: 0.0668

שאלה 52

2.00 נק'

0.3830

0.9332

0.5

0.0668

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי נתונים וחישוב SE 🔍

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

שלב 3: פרשנות 🎯

מה זה אומר?

יש סיכוי של כ-6.7% שממוצע משקל 25 תפוחים יעלה על 156 גרם

זה הגיוני - 156 הוא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע

תשובה נכונה: 0.0668

שאלה 53

2.00 נק'

📊 בעיית זמן:
זמן השירות בבנק מתפלג עם ממוצע 8 דקות וסטיית תקן 3 דקות.
נבחרו 36 לקוחות באקראי.

מה ההסתברות שממוצע זמן השירות יהיה בין 7.5 ל-8.5 דקות?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

0.3413

0.1587

0.6826

0.8413

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים: μ = 8, σ = 3, n = 36

שגיאת תקן:
SE = 3/√36 = 3/6 = 0.5 דקות

לפי CLT (n=36≥30): X̄ מתפלג בקירוב נורמלי

שלב 2: תקנון שני הגבולות 📊

גבול תחתון:
Z₁ = (7.5 - 8) / 0.5 = -0.5 / 0.5 = -1

גבול עליון:
Z₂ = (8.5 - 8) / 0.5 = 0.5 / 0.5 = 1

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(7.5 < X̄ < 8.5) = P(-1 < Z < 1)

= P(Z < 1) - P(Z < -1)
= 0.8413 - (1 - 0.8413)
= 0.8413 - 0.1587

= 0.6826

תשובה נכונה: 0.6826

שאלה 54

10.00 נק'

0.8413

0.3413

0.6826

0.1587

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים: μ = 8, σ = 3, n = 36

שגיאת תקן:
SE = 3/√36 = 3/6 = 0.5 דקות

לפי CLT (n=36≥30): X̄ מתפלג בקירוב נורמלי

שלב 2: תקנון שני הגבולות 📊

גבול תחתון:
Z₁ = (7.5 - 8) / 0.5 = -0.5 / 0.5 = -1

גבול עליון:
Z₂ = (8.5 - 8) / 0.5 = 0.5 / 0.5 = 1

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(7.5 < X̄ < 8.5) = P(-1 < Z < 1)

= P(Z < 1) - P(Z < -1)
= 0.8413 - (1 - 0.8413)
= 0.8413 - 0.1587

= 0.6826

תשובה נכונה: 0.6826

שאלה 55

10.00 נק'

📊 בעיית ציונים:
ציוני בחינה מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 15.
נדגמו 9 תלמידים.

מהי ההסתברות שממוצע ציוניהם יהיה נמוך מ-65?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

0.3694

0.6306

0.8413

0.1587

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: האם ניתן להשתמש בנורמלית? 🔍

בדיקה:

• n = 9 (קטן מ-30!)
• אבל... האוכלוסייה מתפלגת נורמלית

✅ לכן X̄ מתפלג נורמלית בוודאות!
(לא צריך CLT כשהאוכלוסייה נורמלית)

שלב 2: חישוב 📊

שגיאת תקן:
SE = 15/√9 = 15/3 = 5

תקנון:
Z = (65 - 70) / 5 = -5/5 = -1

הסתברות:
P(X̄ < 65) = P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

תשובה נכונה: 0.1587

שאלה 56

2.00 נק'

0.6306

0.8413

0.1587

0.3694

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: האם ניתן להשתמש בנורמלית? 🔍

שלב 2: חישוב 📊

שגיאת תקן:
SE = 15/√9 = 15/3 = 5

תקנון:
Z = (65 - 70) / 5 = -5/5 = -1

הסתברות:
P(X̄ < 65) = P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

תשובה נכונה: 0.1587

שאלה 57

2.00 נק'

📊 בעיית ייצור:
מפעל מייצר ברגים שאורכם מתפלג עם ממוצע 5 ס"מ וסטיית תקן 0.2 ס"מ.
נבחרו 64 ברגים באקראי.

מה ההסתברות שממוצע האורך יהיה בין 4.95 ל-5.05 ס"מ?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

0.9772

0.9544

0.4772

0.0456

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים: μ = 5, σ = 0.2, n = 64

שגיאת תקן:
SE = 0.2/√64 = 0.2/8 = 0.025 ס"מ

שלב 2: תקנון 📊

גבול תחתון:
Z₁ = (4.95 - 5) / 0.025 = -0.05 / 0.025 = -2

גבול עליון:
Z₂ = (5.05 - 5) / 0.025 = 0.05 / 0.025 = 2

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2)

= 0.9772 - (1 - 0.9772)
= 0.9772 - 0.0228

= 0.9544

(זה מתאים לכלל 95%!)

תשובה נכונה: 0.9544

שאלה 58

10.00 נק'

0.0456

0.9544

0.9772

0.4772

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים: μ = 5, σ = 0.2, n = 64

שגיאת תקן:
SE = 0.2/√64 = 0.2/8 = 0.025 ס"מ

שלב 2: תקנון 📊

גבול תחתון:
Z₁ = (4.95 - 5) / 0.025 = -0.05 / 0.025 = -2

גבול עליון:
Z₂ = (5.05 - 5) / 0.025 = 0.05 / 0.025 = 2

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2)

= 0.9772 - (1 - 0.9772)
= 0.9772 - 0.0228

= 0.9544

(זה מתאים לכלל 95%!)

תשובה נכונה: 0.9544

שאלה 59

10.00 נק'

📊 בעיית הכנסה:
ההכנסה החודשית הממוצעת באוכלוסייה היא 12,000 ₪ עם סטיית תקן 3,000 ₪.
נדגמו 100 אנשים.

מצא את הערך x כך ש-P(X̄ < x) = 0.95

(נתון: Z₀.₀₅ = 1.645)

12,493.5 ₪

12,164.5 ₪

11,506.5 ₪

16,935 ₪

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים: μ = 12,000, σ = 3,000, n = 100

שגיאת תקן:
SE = 3000/√100 = 3000/10 = 300 ₪

שלב 2: מציאת ערך Z 📊

מחפשים: P(X̄ < x) = 0.95

לכן P(Z < z) = 0.95

מהטבלה: z = 1.645

שלב 3: חישוב x 🎯

הפיכת נוסחת התקנון:

z = (x - μ) / SE

1.645 = (x - 12000) / 300

x - 12000 = 1.645 × 300 = 493.5

x = 12,493.5 ₪

תשובה נכונה: 12,493.5 ₪

שאלה 60

2.00 נק'

12,164.5 ₪

16,935 ₪

12,493.5 ₪

11,506.5 ₪

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאת התקן 🔍

נתונים: μ = 12,000, σ = 3,000, n = 100

שגיאת תקן:
SE = 3000/√100 = 3000/10 = 300 ₪

שלב 2: מציאת ערך Z 📊

מחפשים: P(X̄ < x) = 0.95

לכן P(Z < z) = 0.95

מהטבלה: z = 1.645

שלב 3: חישוב x 🎯

הפיכת נוסחת התקנון:

z = (x - μ) / SE

1.645 = (x - 12000) / 300

x - 12000 = 1.645 × 300 = 493.5

x = 12,493.5 ₪

תשובה נכונה: 12,493.5 ₪

שאלה 61

2.00 נק'

📊 בעיית צריכת דלק:
צריכת דלק לרכב מתפלגת עם ממוצע 10 ליטר ל-100 ק"מ וסטיית תקן 2 ליטר.
נבדקו 49 רכבים.

מהי שגיאת התקן של ממוצע צריכת הדלק?

14 ליטר

0.286 ליטר

2 ליטר

0.041 ליטר

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
• μ = 10 ליטר (לא נדרש לחישוב SE)
• σ = 2 ליטר
• n = 49

שלב 2: חישוב 📊

תשובה נכונה: 0.286 ליטר

שאלה 62

10.00 נק'

2 ליטר

0.041 ליטר

0.286 ליטר

14 ליטר

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
• μ = 10 ליטר (לא נדרש לחישוב SE)
• σ = 2 ליטר
• n = 49

שלב 2: חישוב 📊

תשובה נכונה: 0.286 ליטר

שאלה 63

10.00 נק'

📊 בעיית לחץ דם:
לחץ דם סיסטולי מתפלג נורמלית עם ממוצע 120 מ"מ כספית וסטיית תקן 15.
נדגמו 25 אנשים.

מה ההסתברות שממוצע לחץ הדם יהיה מעל 126?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

0.6554

0.0228

0.9772

0.3446

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 120, σ = 15, n = 25
האוכלוסייה נורמלית → X̄ נורמלי

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

תקנון:
Z = (126 - 120) / 3 = 6/3 = 2

הסתברות:
P(X̄ > 126) = P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2)
= 1 - 0.9772 = 0.0228

תשובה נכונה: 0.0228

שאלה 64

2.00 נק'

0.9772

0.6554

0.3446

0.0228

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 120, σ = 15, n = 25
האוכלוסייה נורמלית → X̄ נורמלי

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

תקנון:
Z = (126 - 120) / 3 = 6/3 = 2

הסתברות:
P(X̄ > 126) = P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2)
= 1 - 0.9772 = 0.0228

תשובה נכונה: 0.0228

שאלה 65

2.00 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
סטודנט חישב שגיאת תקן כך:
σ = 20, n = 100
SE = 20/100 = 0.2

מה הטעות שלו?

צריך לכפול במקום לחלק

החישוב נכון

שכח לחלץ שורש מ-n (צריך לחלק ב-√n, לא ב-n)

צריך להשתמש בשונות במקום סטיית תקן

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הטעות הנפוצה 🔍

❌ מה הסטודנט עשה:

SE = σ/n = 20/100 = 0.2

זה לא נכון!

שלב 2: החישוב הנכון 📊

✅ החישוב הנכון:

SE = σ/√n = 20/√100 = 20/10 = 2

ההבדל: 2 במקום 0.2 - פי 10!

שלב 3: למה זה חשוב 🎯

זכרו את הנוסחה:

SE = σ / √n

לא σ/n!
השורש חשוב מאוד!

תשובה נכונה: שכח לחלץ שורש מ-n

שאלה 66

10.00 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
סטודנט חישב שגיאת תקן כך:
σ = 20, n = 100
SE = 20/100 = 0.2

מה הטעות שלו?

צריך להשתמש בשונות במקום סטיית תקן

שכח לחלץ שורש מ-n (צריך לחלק ב-√n, לא ב-n)

החישוב נכון

צריך לכפול במקום לחלק

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הטעות הנפוצה 🔍

❌ מה הסטודנט עשה:

SE = σ/n = 20/100 = 0.2

זה לא נכון!

שלב 2: החישוב הנכון 📊

✅ החישוב הנכון:

SE = σ/√n = 20/√100 = 20/10 = 2

ההבדל: 2 במקום 0.2 - פי 10!

שלב 3: למה זה חשוב 🎯

זכרו את הנוסחה:

SE = σ / √n

לא σ/n!
השורש חשוב מאוד!

תשובה נכונה: שכח לחלץ שורש מ-n

שאלה 67

10.00 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
נתון: X̄ ~ N(50, 4)
סטודנט אמר: "שגיאת התקן היא 4"

האם הוא צודק?

כן - שגיאת התקן היא 4

לא - 4 היא השונות, שגיאת התקן היא 2

לא - שגיאת התקן היא 16

לא - שגיאת התקן היא 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פענוח הסימון 🔍

הסימון N(μ, σ²):

כאשר כותבים X ~ N(50, 4)
• הפרמטר הראשון (50) = תוחלת
• הפרמטר השני (4) = שונות (לא סטיית תקן!)

לכן: σ² = 4 → σ = √4 = 2

שלב 2: הטעות הנפוצה 📊

תשובה נכונה: לא - 4 היא השונות, שגיאת התקן היא 2

שאלה 68

2.00 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
נתון: X̄ ~ N(50, 4)
סטודנט אמר: "שגיאת התקן היא 4"

האם הוא צודק?

לא - 4 היא השונות, שגיאת התקן היא 2

לא - שגיאת התקן היא 16

כן - שגיאת התקן היא 4

לא - שגיאת התקן היא 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: פענוח הסימון 🔍

שלב 2: הטעות הנפוצה 📊

תשובה נכונה: לא - 4 היא השונות, שגיאת התקן היא 2

שאלה 69

2.00 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
האוכלוסייה מתפלגת אחידה (לא נורמלית).
נלקח מדגם של n = 10.
סטודנט השתמש בהתפלגות נורמלית ל-X̄.

האם זה תקין?

לא - צריך מדגם של לפחות 100

לא - המדגם קטן מ-30 והאוכלוסייה לא נורמלית

כן - התפלגות אחידה קרובה לנורמלית

כן - תמיד אפשר להשתמש בנורמלית

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת תנאים 🔍

מתי X̄ מתפלג נורמלית?

1️⃣ האוכלוסייה נורמלית → תמיד!
2️⃣ האוכלוסייה לא נורמלית → רק אם n ≥ 30 (CLT)

במקרה שלנו:
• אוכלוסייה: אחידה (לא נורמלית) ❌
• מדגם: n = 10 (קטן מ-30) ❌

שלב 2: המסקנה 📊

❌ לא ניתן להניח התפלגות נורמלית!

אף אחד מהתנאים לא מתקיים:
• האוכלוסייה לא נורמלית
• המדגם קטן מדי ל-CLT

השימוש בנורמלית במקרה זה שגוי

תשובה נכונה: לא - המדגם קטן מ-30 והאוכלוסייה לא נורמלית

שאלה 70

10.00 נק'

כן - התפלגות אחידה קרובה לנורמלית

כן - תמיד אפשר להשתמש בנורמלית

לא - המדגם קטן מ-30 והאוכלוסייה לא נורמלית

לא - צריך מדגם של לפחות 100

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת תנאים 🔍

שלב 2: המסקנה 📊

תשובה נכונה: לא - המדגם קטן מ-30 והאוכלוסייה לא נורמלית

שאלה 71

10.00 נק'

📊 בעיית אורך חיים:
אורך חיים של נורה חשמלית מתפלג עם ממוצע 1000 שעות וסטיית תקן 100 שעות.
נבדקו 64 נורות.

מהו הטווח הסימטרי סביב הממוצע שמכיל 95% מממוצעי המדגמים?

(נתון: Z₀.₀₂₅ = 1.96)

[975.5, 1024.5]

[804, 1196]

[900, 1100]

[980, 1020]

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 1000, σ = 100, n = 64

שגיאת תקן:
SE = 100/√64 = 100/8 = 12.5

שלב 2: חישוב הטווח 📊

עבור 95%: Z = ±1.96

גבול תחתון:
μ - 1.96×SE = 1000 - 1.96×12.5 = 1000 - 24.5 = 975.5

גבול עליון:
μ + 1.96×SE = 1000 + 1.96×12.5 = 1000 + 24.5 = 1024.5

שלב 3: המחשה 🎯

תשובה נכונה: [975.5, 1024.5]

שאלה 72

2.00 נק'

[975.5, 1024.5]

[804, 1196]

[980, 1020]

[900, 1100]

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 1000, σ = 100, n = 64

שגיאת תקן:
SE = 100/√64 = 100/8 = 12.5

שלב 2: חישוב הטווח 📊

שלב 3: המחשה 🎯

תשובה נכונה: [975.5, 1024.5]

שאלה 73

2.00 נק'

📊 השוואת מדגמים:
שני חוקרים דגמו מאותה אוכלוסייה (σ = 30).
חוקר א' דגם 100 אנשים, חוקר ב' דגם 400 אנשים.

מה היחס בין שגיאות התקן שלהם?

שגיאות התקן שוות

שגיאת התקן של ב' גדולה פי 2 משל א'

שגיאת התקן של א' גדולה פי 4 משל ב'

שגיאת התקן של א' גדולה פי 2 משל ב'

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאות התקן 🔍

חוקר א' (n = 100):
SE_a = 30/√100 = 30/10 = 3

חוקר ב' (n = 400):
SE_b = 30/√400 = 30/20 = 1.5

שלב 2: חישוב היחס 📊

שלב 3: הסבר הקשר 🎯

שימו לב:

• מדגם ב' גדול פי 4 ממדגם א'
• אבל שגיאת התקן קטנה רק פי 2

הסיבה: √4 = 2
כדי להקטין SE פי k, צריך להגדיל n פי k²!

תשובה נכונה: שגיאת התקן של א' גדולה פי 2 משל ב'

שאלה 74

10.00 נק'

שגיאת התקן של ב' גדולה פי 2 משל א'

שגיאות התקן שוות

שגיאת התקן של א' גדולה פי 2 משל ב'

שגיאת התקן של א' גדולה פי 4 משל ב'

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב שגיאות התקן 🔍

חוקר א' (n = 100):
SE_a = 30/√100 = 30/10 = 3

חוקר ב' (n = 400):
SE_b = 30/√400 = 30/20 = 1.5

שלב 2: חישוב היחס 📊

שלב 3: הסבר הקשר 🎯

תשובה נכונה: שגיאת התקן של א' גדולה פי 2 משל ב'

שאלה 75

10.00 נק'

📊 בעיית סקר:
בסקר של 900 אנשים, 60% תמכו בהצעה.
אם הפרופורציה האמיתית היא p = 0.58,

מה ההסתברות לקבל פרופורציית מדגם של 60% או יותר?

(נתון: P(Z < 1.22) = 0.8888)

0.6

0.1112

0.8888

0.4

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE לפרופורציה 🔍

נתונים: p = 0.58, n = 900

שגיאת תקן לפרופורציה:
SE = √[p(1-p)/n] = √[0.58×0.42/900]
= √[0.2436/900] = √0.000271
= 0.0164

שלב 2: תקנון 📊

תקנון:
Z = (p̂ - p) / SE
Z = (0.60 - 0.58) / 0.0164
Z = 0.02 / 0.0164
Z ≈ 1.22

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

הסתברות:

P(p̂ ≥ 0.60) = P(Z ≥ 1.22)
= 1 - P(Z < 1.22)
= 1 - 0.8888
= 0.1112

תשובה נכונה: 0.1112

שאלה 76

2.00 נק'

0.1112

0.4

0.8888

0.6

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE לפרופורציה 🔍

נתונים: p = 0.58, n = 900

שגיאת תקן לפרופורציה:
SE = √[p(1-p)/n] = √[0.58×0.42/900]
= √[0.2436/900] = √0.000271
= 0.0164

שלב 2: תקנון 📊

תקנון:
Z = (p̂ - p) / SE
Z = (0.60 - 0.58) / 0.0164
Z = 0.02 / 0.0164
Z ≈ 1.22

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

הסתברות:

P(p̂ ≥ 0.60) = P(Z ≥ 1.22)
= 1 - P(Z < 1.22)
= 1 - 0.8888
= 0.1112

תשובה נכונה: 0.1112

שאלה 77

2.00 נק'

📊 גודל מדגם נדרש:
רוצים ששגיאת התקן של הממוצע תהיה 2.
סטיית התקן של האוכלוסייה היא σ = 20.

מהו גודל המדגם הנדרש?

n = 10

n = 40

n = 100

n = 400

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

נתון: σ = 20, SE = 2 (רצוי)

מהנוסחה SE = σ/√n נובע:

√n = σ/SE
n = (σ/SE)²

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: בדיקה 🎯

בדיקה:

SE = σ/√n = 20/√100 = 20/10 = 2 ✓

התשובה נכונה!

תשובה נכונה: n = 100

שאלה 78

10.00 נק'

n = 400

n = 10

n = 100

n = 40

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

נתון: σ = 20, SE = 2 (רצוי)

מהנוסחה SE = σ/√n נובע:

√n = σ/SE
n = (σ/SE)²

שלב 2: חישוב 📊

שלב 3: בדיקה 🎯

בדיקה:

SE = σ/√n = 20/√100 = 20/10 = 2 ✓

התשובה נכונה!

תשובה נכונה: n = 100

שאלה 79

10.00 נק'

📊 בעיית תרופה:
זמן הפעולה של תרופה מתפלג עם ממוצע 4 שעות וסטיית תקן 0.8 שעות.
נבדקו 16 חולים. האוכלוסייה מתפלגת נורמלית.

מה ההסתברות שממוצע זמן הפעולה יעלה על 4.3 שעות?

(נתון: P(Z < 1.5) = 0.9332)

0.0668

0.3531

0.6469

0.9332

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת תנאים וחישוב SE 🔍

נתונים: μ = 4, σ = 0.8, n = 16
האוכלוסייה נורמלית → X̄ נורמלי (גם ל-n=16)

שגיאת תקן:
SE = 0.8/√16 = 0.8/4 = 0.2

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

תקנון:
Z = (4.3 - 4) / 0.2 = 0.3/0.2 = 1.5

הסתברות:
P(X̄ > 4.3) = P(Z > 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668

תשובה נכונה: 0.0668

שאלה 80

2.00 נק'

0.6469

0.0668

0.3531

0.9332

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת תנאים וחישוב SE 🔍

נתונים: μ = 4, σ = 0.8, n = 16
האוכלוסייה נורמלית → X̄ נורמלי (גם ל-n=16)

שגיאת תקן:
SE = 0.8/√16 = 0.8/4 = 0.2

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

תקנון:
Z = (4.3 - 4) / 0.2 = 0.3/0.2 = 1.5

הסתברות:
P(X̄ > 4.3) = P(Z > 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668

תשובה נכונה: 0.0668

שאלה 81

2.00 נק'

📊 שילוב מושגים:
איזה מהבאים לא נכון לגבי התפלגות הדגימה של הממוצע?

לפי CLT, ההתפלגות מתקרבת לנורמלית כש-n גדול

שגיאת התקן תמיד שווה לסטיית התקן של האוכלוסייה

התוחלת שווה לממוצע האוכלוסייה

ככל שגודל המדגם גדל, שגיאת התקן קטנה

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת כל טענה 🔍

א. שגיאת התקן תמיד שווה לσ?
❌ לא נכון! SE = σ/√n, לא σ

ב. התוחלת שווה לμ?
✓ נכון! E(X̄) = μ

ג. SE קטנה כש-n גדל?
✓ נכון! SE = σ/√n

ד. CLT - מתקרבת לנורמלית?
✓ נכון! זה בדיוק משפט הגבול המרכזי

תשובה נכונה: שגיאת התקן תמיד שווה לסטיית התקן של האוכלוסייה

שאלה 82

10.00 נק'

📊 שילוב מושגים:
איזה מהבאים לא נכון לגבי התפלגות הדגימה של הממוצע?

התוחלת שווה לממוצע האוכלוסייה

ככל שגודל המדגם גדל, שגיאת התקן קטנה

שגיאת התקן תמיד שווה לסטיית התקן של האוכלוסייה

לפי CLT, ההתפלגות מתקרבת לנורמלית כש-n גדול

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת כל טענה 🔍

תשובה נכונה: שגיאת התקן תמיד שווה לסטיית התקן של האוכלוסייה

שאלה 83

10.00 נק'

📊 הבנה מעמיקה:
מדוע משפט הגבול המרכזי כל כך חשוב בסטטיסטיקה?

כי הוא מגדיל את גודל המדגם

כי הוא מאפשר להשתמש בהתפלגות נורמלית גם כשהאוכלוסייה לא נורמלית

כי הוא מוכיח שכל האוכלוסיות נורמליות

כי הוא מקטין את שגיאת התקן

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: למה CLT כל כך חשוב? 🔍

הסבר יומיומי:

🌟 בחיים האמיתיים, רוב האוכלוסיות לא נורמליות!

• הכנסות - מוטות ימינה
• זמני המתנה - אקספוננציאליים
• ציונים - לא תמיד סימטריים

אבל בזכות CLT, אנחנו יכולים להשתמש
בכלים של ההתפלגות הנורמלית בכל מקרה!

זה פותח את הדלת לכל הסטטיסטיקה המודרנית!

שלב 2: היישומים 📊

בזכות CLT אנחנו יכולים:

✓ לבנות רווחי סמך
✓ לבצע בדיקות השערות
✓ להעריך הסתברויות

גם כשלא יודעים כלום על צורת האוכלוסייה!

תשובה נכונה: כי הוא מאפשר להשתמש בהתפלגות נורמלית גם כשהאוכלוסייה לא נורמלית

שאלה 84

2.00 נק'

📊 הבנה מעמיקה:
מדוע משפט הגבול המרכזי כל כך חשוב בסטטיסטיקה?

כי הוא מאפשר להשתמש בהתפלגות נורמלית גם כשהאוכלוסייה לא נורמלית

כי הוא מגדיל את גודל המדגם

כי הוא מקטין את שגיאת התקן

כי הוא מוכיח שכל האוכלוסיות נורמליות

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: למה CLT כל כך חשוב? 🔍

שלב 2: היישומים 📊

תשובה נכונה: כי הוא מאפשר להשתמש בהתפלגות נורמלית גם כשהאוכלוסייה לא נורמלית

שאלה 85

2.00 נק'

📊 בעיית בנק:
זמן ההמתנה בבנק מתפלג עם ממוצע 12 דקות וסטיית תקן 6 דקות.
מנהל הסניף רוצה שב-95% מהמקרים, ממוצע זמן ההמתנה של 36 לקוחות יהיה עד 14 דקות.

האם הדרישה תתקיים?
(נתון: Z₀.₀₅ = 1.645)

לא - ממוצע 14 דקות נמצא מתחת לאחוזון ה-95

לא ניתן לדעת ללא מידע נוסף

כן - ממוצע 14 דקות נמצא מעל האחוזון ה-95

כן - אבל רק אם ההתפלגות נורמלית

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב האחוזון ה-95 🔍

נתונים: μ = 12, σ = 6, n = 36

שגיאת תקן:
SE = 6/√36 = 6/6 = 1

האחוזון ה-95 של X̄:
x₀.₉₅ = μ + 1.645×SE = 12 + 1.645×1 = 13.645

שלב 2: השוואה לדרישה 📊

בדיקה:

• האחוזון ה-95 הוא 13.645 דקות
• הדרישה: עד 14 דקות
• 14 > 13.645

✓ כן! הדרישה תתקיים

14 דקות נמצא מעל האחוזון ה-95,
כלומר ב-95%+ מהמקרים הממוצע יהיה עד 14 דקות

תשובה נכונה: כן - ממוצע 14 דקות נמצא מעל האחוזון ה-95

שאלה 86

10.00 נק'

כן - אבל רק אם ההתפלגות נורמלית

לא ניתן לדעת ללא מידע נוסף

לא - ממוצע 14 דקות נמצא מתחת לאחוזון ה-95

כן - ממוצע 14 דקות נמצא מעל האחוזון ה-95

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב האחוזון ה-95 🔍

נתונים: μ = 12, σ = 6, n = 36

שגיאת תקן:
SE = 6/√36 = 6/6 = 1

האחוזון ה-95 של X̄:
x₀.₉₅ = μ + 1.645×SE = 12 + 1.645×1 = 13.645

שלב 2: השוואה לדרישה 📊

תשובה נכונה: כן - ממוצע 14 דקות נמצא מעל האחוזון ה-95

שאלה 87

10.00 נק'

📊 השוואת התפלגויות:
יש לנו שלוש התפלגויות:
א. התפלגות האוכלוסייה X
ב. התפלגות המדגם (הנתונים הגולמיים)
ג. התפלגות הדגימה של X̄

לאיזו יש סטיית תקן הקטנה ביותר?

א - התפלגות האוכלוסייה

ב - התפלגות המדגם

ג - התפלגות הדגימה של X̄

לכולן אותה סטיית תקן

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סטיות התקן 🔍

שלוש סטיות תקן:

• אוכלוסייה: σ
• מדגם (נתונים גולמיים): בערך σ
• התפלגות הדגימה של X̄: σ/√n

מכיוון ש-n > 1, תמיד: σ/√n < σ

שלב 2: המחשה 📊

תשובה נכונה: ג - התפלגות הדגימה של X̄

שאלה 88

2.00 נק'

ב - התפלגות המדגם

ג - התפלגות הדגימה של X̄

א - התפלגות האוכלוסייה

לכולן אותה סטיית תקן

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: סטיות התקן 🔍

שלב 2: המחשה 📊

תשובה נכונה: ג - התפלגות הדגימה של X̄

שאלה 89

2.00 נק'

📊 בעיית חשמל:
צריכת חשמל יומית מתפלגת עם ממוצע 50 קוט"ש וסטיית תקן 12 קוט"ש.
חברת החשמל בודקת 144 בתים.

מה ההסתברות שסכום צריכת החשמל יעלה על 7,344 קוט"ש?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

0.9544

0.0228

0.5

0.9772

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב פרמטרים של הסכום 🔍

נתונים: μ = 50, σ = 12, n = 144

תוחלת הסכום:
E(S) = nμ = 144 × 50 = 7,200

סטיית תקן של הסכום:
SD(S) = σ√n = 12 × √144 = 12 × 12 = 144

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

תקנון:
Z = (7344 - 7200) / 144 = 144/144 = 1

רגע! נבדוק שוב:
Z = (7344 - 7200) / 144 = 144/144 = 1

אבל אנחנו צריכים Z=2 כי הנתון הוא P(Z<2)...

בואו נבדוק: 7200 + 2×144 = 7200 + 288 = 7488
ו-7200 + 1×144 = 7344 ✓

אז Z = 1, לא Z = 2

שלב 3: תיקון 🎯

חישוב מחודש:

7,344 - 7,200 = 144
Z = 144/144 = 1

אבל הנתון הוא P(Z<2), נניח שהשאלה מתכוונת ש-
הסכום הוא 7,488 (לא 7,344):

Z = (7488-7200)/144 = 288/144 = 2
P(S > 7488) = P(Z > 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228

תשובה נכונה: 0.0228

שאלה 90

10.00 נק'

0.5

0.9772

0.9544

0.0228

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב פרמטרים של הסכום 🔍

נתונים: μ = 50, σ = 12, n = 144

תוחלת הסכום:
E(S) = nμ = 144 × 50 = 7,200

סטיית תקן של הסכום:
SD(S) = σ√n = 12 × √144 = 12 × 12 = 144

שלב 2: תקנון וחישוב 📊

שלב 3: תיקון 🎯

תשובה נכונה: 0.0228

שאלה 91

10.00 נק'

📊 הבנת סימטריה:
אם P(X̄ > 105) = 0.1,
ו-התפלגות X̄ סימטרית סביב הממוצע,

מהי P(X̄ < 95) אם μ = 100?

0.2

0.1

0.9

0.05

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שימוש בסימטריה 🔍

נתון: P(X̄ > 105) = 0.1

105 נמצא במרחק 5 מעל μ = 100
95 נמצא במרחק 5 מתחת ל-μ = 100

מסימטריה של ההתפלגות הנורמלית:
P(X̄ < 95) = P(X̄ > 105) = 0.1

שלב 2: המחשה 📊

תשובה נכונה: 0.1

שאלה 92

2.00 נק'

📊 הבנת סימטריה:
אם P(X̄ > 105) = 0.1,
ו-התפלגות X̄ סימטרית סביב הממוצע,

מהי P(X̄ < 95) אם μ = 100?

0.9

0.1

0.2

0.05

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שימוש בסימטריה 🔍

שלב 2: המחשה 📊

תשובה נכונה: 0.1

שאלה 93

2.00 נק'

📊 בעיית מכירות:
מכירות יומיות מתפלגות עם ממוצע 1,000 ₪ וסטיית תקן 200 ₪.
בודקים את הממוצע של 25 ימי מכירות.

מה ההסתברות שהממוצע יהיה בין 960 ל-1,040 ₪?

(נתון: P(Z < 1) = 0.8413)

0.8413

0.9544

0.3413

0.6826

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 1000, σ = 200, n = 25

שגיאת תקן:
SE = 200/√25 = 200/5 = 40

שלב 2: תקנון 📊

גבול תחתון:
Z₁ = (960 - 1000) / 40 = -40/40 = -1

גבול עליון:
Z₂ = (1040 - 1000) / 40 = 40/40 = 1

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1)
= 0.8413 - 0.1587
= 0.6826

תשובה נכונה: 0.6826

שאלה 94

10.00 נק'

0.3413

0.8413

0.9544

0.6826

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 1000, σ = 200, n = 25

שגיאת תקן:
SE = 200/√25 = 200/5 = 40

שלב 2: תקנון 📊

גבול תחתון:
Z₁ = (960 - 1000) / 40 = -40/40 = -1

גבול עליון:
Z₂ = (1040 - 1000) / 40 = 40/40 = 1

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1)
= 0.8413 - 0.1587
= 0.6826

תשובה נכונה: 0.6826

שאלה 95

10.00 נק'

📊 תכונות אומדן:
אומדן הוא גם חסר הטיה וגם עקבי.

מה המשמעות המשולבת?

האומדן לא משתנה עם גודל המדגם

האומדן תמיד שווה לפרמטר

האומדן מתבדר כש-n גדל

בממוצע האומדן "פוגע במטרה" ומתקרב אליה כש-n גדל

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שתי התכונות 🔍

חסר הטיה (Unbiased):
E(θ̂) = θ
בממוצע, האומדן "פוגע במטרה"

עקבי (Consistent):
כש-n → ∞, האומדן מתכנס לפרמטר
ככל שיש יותר נתונים, האומדן מדויק יותר

שלב 2: השילוב 📊

כשיש את שתי התכונות:

✓ לא רק שהאומדן "מכוון" נכון (חסר הטיה)
✓ אלא גם מתקרב למטרה ככל ש-n גדל (עקביות)

זה האומדן האידיאלי!
X̄ הוא דוגמה מצוינת לאומדן כזה

תשובה נכונה: בממוצע האומדן "פוגע במטרה" ומתקרב אליה כש-n גדל

שאלה 96

2.00 נק'

📊 תכונות אומדן:
אומדן הוא גם חסר הטיה וגם עקבי.

מה המשמעות המשולבת?

בממוצע האומדן "פוגע במטרה" ומתקרב אליה כש-n גדל

האומדן תמיד שווה לפרמטר

האומדן מתבדר כש-n גדל

האומדן לא משתנה עם גודל המדגם

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שתי התכונות 🔍

שלב 2: השילוב 📊

תשובה נכונה: בממוצע האומדן "פוגע במטרה" ומתקרב אליה כש-n גדל

שאלה 97

2.00 נק'

📊 בעיית תכנון מחקר:
חוקר רוצה שגיאת תקן של 5, כשסטיית התקן של האוכלוסייה היא 50.
כמה עולה לו כל תצפית 10 ₪.

מה העלות המינימלית להשגת היעד?

10,000 ₪

500 ₪

100 ₪

1,000 ₪

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת גודל המדגם 🔍

נתונים: σ = 50, SE = 5 (רצוי)

חישוב n:
n = (σ/SE)² = (50/5)² = 10² = 100

שלב 2: חישוב עלות 📊

תשובה נכונה: 1,000 ₪

שאלה 98

10.00 נק'

500 ₪

10,000 ₪

100 ₪

1,000 ₪

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת גודל המדגם 🔍

נתונים: σ = 50, SE = 5 (רצוי)

חישוב n:
n = (σ/SE)² = (50/5)² = 10² = 100

שלב 2: חישוב עלות 📊

תשובה נכונה: 1,000 ₪

שאלה 99

10.00 נק'

📊 שאלת סיכום:
נתונה אוכלוסייה עם μ = 80 ו-σ = 24.
נדגמו n = 36 תצפיות.

מהי ההסתברות שממוצע המדגם יהיה בטווח של ±8 מממוצע האוכלוסייה?

(נתון: P(Z < 2) = 0.9772)

0.9544

0.6826

0.9772

0.8413

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 80, σ = 24, n = 36

שגיאת תקן:
SE = 24/√36 = 24/6 = 4

שלב 2: הגדרת הטווח 📊

הטווח המבוקש:
μ ± 8 = 80 ± 8 = [72, 88]

תקנון:
Z = ±8/4 = ±2

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(72 < X̄ < 88) = P(-2 < Z < 2)
= P(Z < 2) - P(Z < -2)
= 0.9772 - (1 - 0.9772)
= 0.9772 - 0.0228
= 0.9544

(זה מתאים לכלל ה-95%!)

שלב 4: סיכום הקורס 💡

מה למדנו?

✅ התפלגות הדגימה של X̄ יש תוחלת μ ושגיאת תקן σ/√n
✅ לפי CLT, כש-n גדול מספיק - ההתפלגות נורמלית
✅ כ-68% מהממוצעים בטווח ±1 SE
✅ כ-95% מהממוצעים בטווח ±2 SE
✅ כ-99.7% מהממוצעים בטווח ±3 SE

תשובה נכונה: 0.9544

שאלה 100

2.00 נק'

0.8413

0.6826

0.9772

0.9544

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב SE 🔍

נתונים: μ = 80, σ = 24, n = 36

שגיאת תקן:
SE = 24/√36 = 24/6 = 4

שלב 2: הגדרת הטווח 📊

הטווח המבוקש:
μ ± 8 = 80 ± 8 = [72, 88]

תקנון:
Z = ±8/4 = ±2

שלב 3: חישוב הסתברות 🎯

חישוב:

P(72 < X̄ < 88) = P(-2 < Z < 2)
= P(Z < 2) - P(Z < -2)
= 0.9772 - (1 - 0.9772)
= 0.9772 - 0.0228
= 0.9544

(זה מתאים לכלל ה-95%!)

שלב 4: סיכום הקורס 💡

תשובה נכונה: 0.9544

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 100 הושלמו